Números Complexos - PUC

por danjr5 Qui 01 Nov 2012, 23:45

O lugar geométrico das imagens dos complexos $z$ , tais que $z^3$ é real, é:
a) um par de retas paralelas
b) um par de retas concorrentes
c) uma reta
d) uma circunferência
e) uma parábola

por aprentice Sex 02 Nov 2012, 00:35

Complicado te explicar sem desenhar e to indo dormir.
Mas vou tentar:

z³ = x³ => z = x*cis(2kpi/3)

=> z = x V z = x*cis(120) V z = x*cis(-120)

Se você traçar os afixos no plano complexo fica evidente que formam um par de retas concorrentes.

por danjr5 Sex 02 Nov 2012, 14:21

Caro Aprentice,
boa tarde!
Não entendi sua resolução, mas a sua conclusão coincide com a minha.

$\\ z = x + yi \\\\ z^3 = x^3 + 3x^2yi + 3xy^2i^2 + y^3i^3 \\\\ z^3 = (x^3 - 3xy^2) + ({\color{Red} 3x^2y - y^3})i \\\\\\ 3x^2y - y^3 = 0 \\ y(3x^2 - y^2) = 0 \\ \boxed{y = 0} \,\, \textup{e} \,\, \boxed{y = \pm x \sqrt{3}}$

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