Um tanque de combustível

Um tanque de combustível tem a forma de um prisma triangular regular reto. Há um pequeno orifício na tampa superior do tanque, exatamente no ponto correspondente ao baricentro. Esse tanque está completamente cheio e será deitado sobre uma superfície horizontal, apoiado em uma das suas faces laterais, de modo que o orifício permitirá o escoamento de parte do combustível. Ao fim do escoamento, a que fração do volume total corresponderá o volume do combustível remanescente no tanque?

a) 8/27
b) 4/9
c) 5/9
d) 2/3
e) 19/27

DIEGOLEITE escreveu:Um tanque de combustível tem a forma de um prisma triangular regular reto. Há um pequeno orifício na tampa superior do tanque, exatamente no ponto correspondente ao baricentro. Esse tanque está completamente cheio e será deitado sobre uma superfície horizontal, apoiado em uma das suas faces laterais, de modo que o orifício permitirá o escoamento de parte do combustível. Ao fim do escoamento, a que fração do volume total corresponderá o volume do combustível remanescente no tanque?

a) 8/27
b) 4/9
c) 5/9
d) 2/3
e) 19/27

Boa noite, Diego.

O baricentro de um triângulo encontra-se no ponto de encontro de suas três medianas.
Sendo o prisma triangular regular, deve suas bases devem ter o formato de triângulo equilátero.

As três medianas interceptam-se a 2/3 dos vértices e, portanto, a 1/3 dos respectivos lados.

Assim, faça o esboço de um triângulo equilátero (ABC) com suas 3 medianas, e identifique o ponto de encontro delas com a letra G, colocando como vértice A o do ângulo superior e como B e C os da base do triângulo.

Identifique o ponto de encontro aa mediana que parte de A e chega até o ponto médio de BC com a letra M.

Trace agora uma paralela à base BC, passando por G, e identifique seus encontros com os lados AB e AC com as letras D e E.

Façamos, então:
BC = B = base de ABC
AM = H = altura de ABC

DE = 2/3 de B = 2B/3 =base de ADE
AG = 2/3 de H = 2H/3 = altura e ADE

Área de ABC:
BH/2

Área de ADE:
(2B/3 * 2H/3)/2 = (4BH/9)/2 = 4BH/18 = 2BH/9

O nível do combustível no tanque (devido ao furo feito em G) irá baixar desde o nível A até o nível G, correspondente à área de ADE * P (profundidade ou altura do prisma).

A relação entre as áreas dos triângulos (ADE e ABC) é igual a:
2BH/9 : BH/2 = 2BH/9 * 2/BH = 4/9

Assim, o volume escoado será igual a 4/9 do volume total do prisma (porque a profundidade ou altura do prisma não influi em nosso cálculo, posto que ela fará parte tanto do cálculo do prisma com base ABC, quanto do prisma com base ADE).

Portanto, o volume do combustível remanescente, em relação ao volume do prisma repleto de combustível, será igual a:
1 - 4/9 = 5/9

Alternativa (c)







Um abraço.

Obrigado Ivonilton pela colaboração! Muito agradecido!