IME - 72 - Geometria plana

por gludwig Sex 05 Out 2012, 19:26

(IME-72) Sejam “n” circunferências de raio R, tangentes
entre si duas a duas e tendo seus centros sobre os vértices
de um polígono regular. Calcule a área exterior às
circunferências e compreendida entre elas, em função de R
e n.

A resposta é: R² . [n . cot(∏/n) - (n-2)∏/2]

Minha resposta simplesmente não bate. Desde já agradeço pela atenção.

por Convidado Sex 19 Out 2012, 19:18

Desenhando essa figura você encontrará que o lado desse polígono é 2R. Além disso tem-se que o ângulo teta é θ=2∏/n.
Calcularemos o valor de r e com isso calcularemos a área do triângulo AOB, depois descontaremos a área das circunferências:
$(2R)^2=2r^2-2r^2cos{\theta}\\ r^2=\frac{2R^2}{(1-\cos{\theta})}\\$

$S_{\Delta}=\frac{r^2\sin{\theta}}{2}=\frac{2R^2}{(1-\cos{\theta})}\cdot\frac{\sin{\theta}}{2}\\ S_{\Delta}=\frac{R^2\sin{\theta}}{1-\cos{\theta}}= \frac{R^22\sin{\frac{\pi}{n}\cos{\frac{\pi}{n}}}}{1-\cos^2{\frac{\pi}{n}+\sin^2{\frac{\pi}{n}}}}\\ S_{\Delta}=\frac{R^22\sin{\frac{\pi}{n}\cos{\frac{\pi}{n}}}}{2\sin^2{\frac{\pi}{n}}}=R^2cotg(\frac{\pi}{n})$

$S_{arcos}=2[\frac{\alpha}{2}R^2]=\alpha R^2\\ \text{só que }\alpha=\frac{\pi-\theta}{2}=\frac{\pi-\frac{2\pi}{n}}{2}=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{n}\\ S_{arcos}=\frac{\pi}{2}(1-\frac{2}{n})R^2$

$S_{arcos}=\frac{\pi}{2}(n-2)R^2\\ S_{OAB}=S_{\Delta}-S_{arcos}\\ S_{OAB}=R^2cotg(\frac{\pi}{n})-\frac{\pi}{2}(1-\frac{2}{n})R^2$

Como são n áreas OAB

$S=n\cdot S_{OAB}=nR^2cotg(\frac{\pi}{n})-\frac{\pi}{2}(n-2)R^2\\ S=R^2\cdot [ncotg(\frac{\pi}{n})-\frac{\pi}{2}(n-2)]$