OBM- 2008

De quantas maneiras podemos dividir R$10,0 em moedas de 10 centavos e de 25 centavos, se pelo menos uma moeda de cada valor tem que ser usada?

A) 15
B) 16
C) 17
D) 18
E) 19
***Companheiros, esse pelo menos significa que uma ou duas moedas podem ter sido usadas ?é isso ?

Olá nanda22.

Até onde sei, esse pelo menos quer dizer que todos os valores considerados devem ter, no mínimo, uma moeda de 10 centavos e outra de 25. Ou seja, não vale criar um valor somente com moedas de 25 ou somente com moedas de 10.

Me perdoe se estiver falando bobagem, mas creio que seja isso.

Significa que usou-se, com certeza, moedas dos dois tipos.

Sejam:

• "x" o número de moedas de 10 centavos usadas;
• "y" o número de moedas de 25 centavos usadas.

Como R$10,00 equivale a 10.100 = 1000 centavos, vale a equação:



Como "y" deve ser inteiro positivo, "x" deve necessariamente ser múltiplo positivo de 5. Então:



Perceba que para múltiplos maiores de 5, "y" assumiria valores nulos ou negativos.

19 soluções. (Letra E)

Bom... eu fiz da seguinte maneira :

10x + 25y = 1000   (sendo x a quantidade de moedas de 10 centavos e y a quantidade de moedas de 25 centavos) 

a partir dai, se fizermos 1 moeda de 25 centavos e o resto de 10 centavos , percebemos nitidamente que seria impossível , ja que devemos ter moedas inteiras . 
Se fizermos duas de 25 centavos , será possível o resto ser de 10 centavos , o que daria um total de 95 moedas de 10 centavos .
Se fizermos três de 25 centavos, será impossível o resto ser de 10 centavos.
Se fizermos quatro de 25 centavos será possível o resto ser de 10 centavos, o que daria 90 moedas de 10 centavos. 
Ora, o que estaremos fazendo, se continuarmos,  é justamente uma PA , em que o termo inicial é 95 , a razão é -5 e o termo final obviamente deverá ser 5 ( ja que tirando 5 em 5, chegaremos no numero 5 e a partir daí, não poderemos tirar mais uma vez 5 , uma vez que devemos ter pelo menos uma moeda de cada valor) 

Portanto: 95 -5(n-1) = 5 ----> 95 -5n = 0 ----> n= 19 (LETRA E)