Trapézio retângulo

por Nat' Sex 14 Set 2012, 17:48

As bases de um trapézio retângulo ABCD são AD = a e BC = b ( a>b), e a altura AB = c. Determinar as distâncias do ponto de interseção das diagonais do trápézio aos lados AD e AB.

Resp. ac/(a + b) ; ab/(a + b)

Eu já encontrei ac/(a + b), alguém pode me ajudar a encotrar a outra relação?

Obrigada! ^^

por **Elcioschin** Sex 14 Set 2012, 18:09

Desenhe um sistema xOY com A na origem e AD so semi-eixo X+:

A(0, 0) ----> C(b, c) ----> D(a, 0) -----> B(0, c)

Reta AC ----> y = (c/b)*x

Reta BD ----> y = - (c/a)*x + c

Coordenadas do ponto P(xP, yP) ----> c/b*xP = -(c/a)*xP + c -----> xP = a*b/(a + b)

yP= (c/b)*xP ---- yP = (c/b)*[ab/(a + b)] -----> yP = ac/(a + b)

por Nat' Sex 14 Set 2012, 20:35

Oooh!

Eu não tinha pensado em resolver essa questão por geometria analítica!
É muito mais fácil de enxergar!!!
Muito obrigada Elcioschin! Very Happy

por **Medeiros** Sáb 15 Set 2012, 04:11

uma solução por G.E.

Trapézio retângulo Trapeziov

$Trapézio retângulo Gif.latex?%5C%5C%20%5Cbigtriangleup%20ADP%20%5Csim%20%5Cbigtriangleup%20BCP%20%5C;%5C;%5C;%5C;%5C;%5Ctext%7B.......%20caso%20AA%7D%20%5C%5C%5C%5C%20%5Cfrac%7Bx%7D%7Ba%7D=%5Cfrac%7By%7D%7Bb%7D%20%5C;%5C;%5C;%5Crightarrow%5C;%5C;%5C;%20%5Cfrac%7Bx%7D%7Ba%7D=%5Cfrac%7Bc-x%7D%7Bb%7D%20%5C;%5C;%5C;%5Crightarrow%5C;%5C;%5C;%20bx=ac-ax%20%5C%5C%5C%5C%20x%28a+b%29=ac%20%5C;%5C;%5C;%5Crightarrow%5C;%5C;%5C;%20%7B%5Ccolor%7BRed%7D%20x=%5Cfrac%7Bac%7D%7Ba+b%7D%7D%20%5C%5C%5C%5C%20y=c-x%20%5C;%5C;%5C;%5Crightarrow%5C;%5C;%5C;%20y=c-%5Cfrac%7Bac%7D%7Ba+b%7D%20%5C%5C%5C%5C%20y=%5Cfrac%7Bac+bc-ac%7D%7Ba+b%7D%20%5C;%5C;%5C;%5Crightarrow%5C;%5C;%5C;%20%7B%5Ccolor%7BRed%7D%20y=%5Cfrac%7Bbc%7D%7Ba+b%7D%7D%20%5C;%5C;%5C;%5Cleftarrow%5C;%5C;%5C;%20%5Ctext%7Berro%20no%20gabarito.%20Reveja$

OBS.
A resposta y dá a distância de P (interseção das diagonais) ao lado BC. Mas isto NÃO foi pedido pela questão. Foi falta de atenção minha ao ler. Portanto, retiro a acusação de erro ao gabarito.

por Nat' Sáb 15 Set 2012, 04:20

Medeiros,
Eu tinha feito igual a você e também estava encontrando y=bc/(a + b) como resposta...
Mas resolvendo por geometria analítica como o Elcioschin sugeriu, o resultado bate com o gabarito...

por **Medeiros** Sáb 15 Set 2012, 05:27

Tem razão, Nat'.
E obrigado pelo alerta, pois graças a ele reli mais atentamente a questão e vi que é pedido a distância da interseção ao lado AB (busquei o lado errado).
Ah, e também não acompanhei a resolução do Élcio, apenas vi que usava geom. analítica.

por **Medeiros** Sáb 15 Set 2012, 05:51

Complementando a resposta.

Distância da interseção das diagonais ao lado AB

Trapézio retângulo Trapeziof

$\\ \bigtriangleup ABD \sim \bigtriangleup QBP \;\;\;\;\;\text{....... caso AA} \\\\ \frac{z}{a}=\frac{y}{c} \;\;\;\rightarrow\;\;\; z=\frac{ay}{c}\\\\ \text{substituindo o 'y' já calculado} \\\\ z=\frac{abc}{(a+b)\;c} ;\;\;\rightarrow\;\;\; {\color{Red} z=\frac{ab}{(a+b)}}$