Demonstrar que A + I é invertível.

por **Robson Jr.** Qui 13 Set 2012, 18:42

Seja $\small A_{n\times n}$ uma matriz de coeficientes reais e $\small k\neq1$ um número real tal que $\small A^3=kA$ .

Prove que a matriz $\small A+I$ é invertível, onde $\small I_{n\times n}$ é a identidade.

por Dinheirow Qui 13 Set 2012, 23:13

A³ - kA = 0 (matriz nula)
A(A² - kI) = 0
A(A + √k.I)(A - √k.I) = 0
Para A não nulo pode-se dizer que A = ± √k.I, logo:
A + I = ±√kI + I = ±(√k+1)I, invertível, pois o determinante será diferente de zero para k real

por **Robson Jr.** Sex 14 Set 2012, 09:52

Se há matrizes tais que A.B.C.D. ... .N = 0, não se pode afirmar que uma delas necessariamente é nula.

$\begin{bmatrix} 0 &2009 \\ 0 &2010 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2011 &2012 \\ 0 &0 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0 &0 \\ 0 &0 \end{bmatrix}$

EDIT:

Se det(A) ≠ 0, existe inversa e consigo demonstrar facilmente. Estou com dificuldades para det(A) = 0...

$\small A^3.A^{-1}=k.A.A^{-1} \\ \Rightarrow \ A^2=k.I \\ \Rightarrow \ A^2-I=(k-1)I \\ \Rightarrow \ (A+I)(A-I)=(k-1)I \\ \Rightarrow \ det(A+I).det(A-I)=det[(k-1)I] \neq 0 \\ \Rightarrow \ det(A+I)\neq0 \ \wedge \ det(A-I) \neq0$

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