Equação diofantina

Resolva a seguinte equação diofantina:
3x+5y = 47

Olá,

3x+5y = 47 => 3x = 47 - 5y => x = ( 47 - 5y )/3

x = 15 - 2y + ( 2 + y )/3

15 e 2y são números inteiros, então a equação só será viável para:

( 2 + y )/3 -> inteiro

usando a variável inteira "t" temos:

t = ( 2 + y )/3

para y = 1 => x = 14

para y = 4 => x = 9


Um abraço.

José Carlos

Faltou uma solução. Vou continuar onde você parou:

t = (2 + y)/3 ----> y = 3t - 2

x = [47 - 5y]/3 ----> x = [47 - 5*(3t - 2)]/3 ----> x = 19 - 5t


Para x >= 0 ----> 19 - 5t >= 0 ----> 5t < 19 ----> t = 1, 2 ou 3

t = 1 ----> x = 14 ----> y = 1
t = 2 ----> x = 9 -----> y = 4
t = 3 ----> x = 4 -----> y = 7

Olá mestre Elcio,

Agradeço muito pela correção, fico contente por ter acertado parte da solução que, só foi possível, através do método para soluções dessas equações que você me passou faz algum tempo.

Um grande abraço.

José Carlos

Você já é um Mestre no assunto!

Um abraço.

Elcio

Robalo escreveu:Resolva a seguinte equação diofantina:
3x+5y = 47

5 = 1.3 + 2
3 = 1.2 + 1
3 - (5 - 3) = 1
2.3 - 1.5 = 1 ( x 47)
94.3 - 47.5 = 47
94.3 - 47.5 = 3x + 5y
3(94 - x) = 5(y + 47)
94 - x = 5k ; x = 94 - 5k
3k = y + 47 ; y = 3k - 47
para k = 0; x = 94 e y = -47
para k = 1; x = 89 e y = - 44
para k = 2; x = 84 e y = -41
........

Paulo

Como o enunciado não especificou, tanto o José Carlos como eu, partimos do pressuposto de que só interessavam as soluções do universo dos números naturais maiores do que zero.

Você pode ver que eu salientei este fato na minha resolução (Para x >= 0 ....).

De qualquer modo a sua solução é perfeita: na realidade é um algoritmo da solução algébrica diofantina.

Hola Elcio.

Realmente vc tem toda a razão, foi falha minha. Perdoe-me.

3x + 5y = 47
x = (47 - 5y)/3 (I)
x = 45/3 + 2/3 - (3y/3 - 2y/3)
x = 15 - 2y/3 - (y + 2y/3)
x = 15 - y + (-2y + 2)/3

Admitindo t = (-2y +2)/3
t = (-2y +2)/3
y = (-3t + 2)/2 (II)
y = -(2t/2 + t/2) + 2/2
y = -t -t/2 +1

Admitindo u = -t/2
u = -t/2
t = -2u (III)

Substituindo (III) em (II):
y = (-3.(-2u)+2)/2
y = (6u + 2)/2
y = 3u + 1 (IV)

Substituindo (IV) em (I):
x = (47 - 5(3u + 1))/3
x = (47 - 15u - 5)/3
x = (3.(14 - 5u))/2
x = 14 - 5u



Portanto, as soluções seriam:
y = 3u + 1
x = 14 - 5u

Admitindo-se soluções inteiras.
Dava pra fazer mais direto, com x e y em função do valor de t, mas eu me atrapalhei com os sinais (hehehe).

Alguém poderia verificar se minha resolução está correta?
Grato desde já.

Matheus

Você cometeu erro de sinal na 3ª linha. O correto é:

x = 45/3 + 2/3 - (3y/3 + 2y/3)

x = 15 - y + (2 - 2y)/3


A partir daí continue.


Veja porém que o caminho adotado pelo José Carlos e complementado por mim é mais fácil e rápido.




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