2 equação diofantina

Uma certa quantidade de maçãs é dividida em 37 montes de igual número. Após serem retiradas 17 frutas, as restantes são acondicionadas em 79 caixas, cada uma com a mesma quantidade. Quantas maçãs foram colocadas em cada caixa? Quantas tinha cada monte?

veronicacamargo8 escreveu:Uma certa quantidade de maçãs é dividida em 37 montes de igual número. Após serem retiradas 17 frutas, as restantes são acondicionadas em 79 caixas, cada uma com a mesma quantidade. Quantas maçãs foram colocadas em cada caixa? Quantas tinha cada monte?

Boa noite, Verônica.

x = maçãs em cada monte
y = maçãs em cada caixa

37x - 17 = 79y
37x = 79y + 17 (***)

x = (74y + 5y + 17)/37
x = 2y + (5y + 17)/37

Como x e y devem ser inteiros, também a fração final deve produzir quociente inteiro.
Assim, faremos essa fração igual a uma nova incógnita: m.
(5y + 17)/37 = m
5y + 17 = 37m
5y = 37m - 17 (**)
y = (35m + 2m)/5 - (15 + 2)/5
y = 7m + 2m/5 - 3 - 2/5
y = 7m - 3 + (2m-2)/5

Aqui, igualmente, o quociente da equação final deverá ser inteiro; faremos, pois, essa fração igual a outra incógnita: n.
(2m - 2)/5 = n
2m - 2 = 5n
2m = 5n + 2 (*)
m = (4n + n)/2 + 2/2
m = 2n + n/2 + 1
m = 2n + 1 + n/2

Continuando com a mesma rotina, faremos a fração final igual a uma outra incógnita, sempre de livre escolha: p.
n/2 = p
n = 2p ........... (I)

A partir deste ponto iremos retroagir, começando por fazer n=2p na fórmula de m (*):
2m = 5n + 2
2m = 5(2p) + 2
2m = 10p + 2
m = (10p + 2)/2
m = 5p + 1 ..... (II)

Continuando, faremos m=5p+1 na fórmula de y (**):
5y = 37m - 17
5y = 37(5p+1) - 17
5y = 185p + 37 - 17
y = (185p +20)/5
y = 37p + 4 .... (III)

Finalmente, faremos y=37p+4 na fórmula de x (***):
37x = 79y + 17
37x = 79(37p+4) + 17
37x = 2923p + 316 + 17
x = (29236 + 333)/37
x = 79p + 9 .... (IV)

x e y, além de inteiros, também deverão ser positivos, logo:
x → 79p+9 > 0 → 79p > -9 → p > -9/79 → p > -0,1... → p≥0
y → 37p+4 > 0 → 37p > -4 → p > -4/37 → p > -0,1... → p≥0

Se fizermos p=0, obteremos a menor das soluções:
x = 9 maçãs em cada monte
y = 4 maçãs em cada caixa



Um abraço.