Equação Diofantina

O valor da entrada de um cinema é R$ 8,00 por adulto e R$ 5,00 por criança. Qual é o menor número de pessoas que pode assistir a uma sessão de maneira que a bilheteria seja de R$ 500,00?

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Eu resolvi esta questão, só que não tenho o gabarito. Aí fica aquela dúvida...

O meu deu 64

64 pessoas
Sendo 60 adultos e 4 crianças.

Fiz rapidinho, mas acho que é isso mesmo!

Ei kongo, não sei se fizemos certo mas acho que achei 64 tbm:

Spoiler:

Na verdade você nem precisa pensar em equações diofantinas.

Perceba que a equação será:

5x + 8y = 500

Onde x é o número de crianças e y o de adultos.

Para ser o menor número de pessoas, devemos ter o máximo de adultos possíveis e o mínimo de crianças. Isto porque o ingresso dos adultos é mais caro, então suponha, por exemplo, que queremos alcançar R$40,00. Para isso precisamos de apenas 5 adultos, mas precisamos de 8 adultos.

Mas veja também que os números divisíveis por 5 são os terminados por 0 ou 5. Perceba que nenhum múltiplo de 8 é terminado em 5, ou seja, deve ser terminado em 0.

Então vejamos:
8 = 8 (sério?)
8 + 8 = 16
8 + 8 + 8 = 24
8 + 8 + 8 + 8 = 32
8 + 8 + 8 + 8 + 8 = 40

Então devemos ir de 40 em 40.

Vejamos então "quantos 40 cabem dentro de 500":

500/40 = 12,5
40.12 = 480

Então a renda dos adultos deve ser igual a R$480,00, ou seja, 60 adultos.
Assim, a renda das crianças deve ser igual a R$20,00, ou seja, 4 crianças.

Nem precisava pensar nisso tudo, bastava perceber, que deveríamos ter n adultos, tal que n seja divisível por 5 e por 8 ao mesmo tempo, e menor de 500. Ou pensar no mmc.

Sai por equações diofantinas, mas dessa forma, você faz em menos de 2 minutos.

Pablo Simões escreveu:O valor da entrada de um cinema é R$ 8,00 por adulto e R$ 5,00 por criança. Qual é o menor número de pessoas que pode assistir a uma sessão de maneira que a bilheteria seja de R$ 500,00?

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Eu resolvi esta questão, só que não tenho o gabarito. Aí fica aquela dúvida...

Boa noite!

Equalção diofantina:
8x + 5y = 500

Resolvendo:
y = (500 - 8x)/5 = 100 - 8x/5 = 100 - x - 3x/5

Sendo "x" e "y" números inteiros (e positivos), também deverá ser inteiro o quociente de 3x/5.
Façamos, pois, essa fração igual a "m":
3x/5 = m
3x = 5m
x = 5m/3 = m + 2m/3

Da mesma forma, 2m/3 deve fornecer um quociente inteiro.
Falamos, então, essa fração igual a "n":
2m/3 = n
2m = 3n
m = 3n/2 = n + n/2

E também n/2 deve resultar num quociente inteiro.
Logo, façamos esta última fração igual a "p":
n/2 = p
n = 2p

Agora iremos retornando, a fim de obter os valores das incógnitas anteriores:
m = 3n/2 = 3*2p/2 = 6p/2 = 3p
3x = 5m = 5*3p = 15p
x = 15p/3
x = 5p

y = (500-8x)/5 = (500 - 8*5p)/5 = (500 - 40p)/5
y = 100 - 8p

Como "x" e "y", além de inteiros, devem ser positivos, examinemos essa condição:
x → 5p > 0 → p > 0 → (I)
y → 100 - 8p > 0 → 100 > 8p → 8p < 100 → p < 12,5 → p ≤ 12 → (II)

(I) ∩ (II) = 0 < p ≤ 12


Calculando o menor valor para "x+y"

x + y = 5p + 100 - 8p = 100 - 3p

Para que "x+y" tenha o menor valor possível, deveremos dar a "p" o maior valor possível, o que nos leva a dar a "p" seu valor máximo (12), averiguando se teremos 100 - 3p > 0, como é necessário:

x + y = 100 - 3p = 100 - 3*12 = 100 - 36
x + y = 64






Um abraço.

Obrigado pessoal.

Abraços!

Você acertou? rsrsrs

Não, hehe. :joker:

Eu fiz quase da mesma maneira que o Ivo, só que acabei errando no meio do caminho.