Probabilidade condicional

por carlos.r Sex 31 Ago 2012, 12:45

Em um espaço amostral com uma probabilidade P, são dados os eventos A, B e C, tais que: P(A) = P(B) = 1/2 , com
A e B independentes. Observa-se que P(A ∩ B ∩ C) = 1/16 e que P((A ∩ B) U (A ∩ C)) = 3/10. Calcule as
probabilidades condicionais P(C| A ∩ B) e P(C|A ∩ B^C).

Gabarito: 1/4 e 9/40

por oferadagaita Sáb 03 Fev 2018, 14:46

Vou responder só a primeira porque a segunda não consegui...

P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = \left(\frac{1}{2}\right)^{\!\! 2} = \frac{1}{4}
porque o enunciado diz que eles são independentes.

P(C|A\cap B) = \frac{P(C \cap A \cap B)}{P(A \cap B)} = \frac{1}{16}\cdot \frac{4}{1} = 1/4.

Na segunda travei ao tentar achar quanto vale P(A \cap C), alguém me ajude rs

por oferadagaita Sáb 03 Fev 2018, 15:45

Na segunda parte da pergunta, o FME, 8ª Edição, Vol. 5 aponta como resposta 1/5 (o que difere do gabarito que vc apresentou; não sei qual está certa, já que esse livro tem algumas resposta erradas rs).

Eis como cheguei ao resultado de 1/5:
---

P(C | A \cap B^C) = \frac{P(C \cap A \cap B^C)}{P(A \cap B^C)}

P(A \cap B^C) = P(A) - P(A \cap B) = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}

O enunciado diz que P[(A\cap B) \cup (A\cap C)] = 3\big/10

Isso significa que
\frac{3}{10} = P(A\cap B) + P(A\cap C) - P(A\cap B\cap C) \to
\frac{3}{10} = \frac{1}{4} + P(A\cap C) - \frac{1}{16} \therefore
P(A\cap C) = \frac{3}{10} - \frac{1}{4} + \frac{1}{16} = \frac{9}{80}

Desenhando um diagrama de Venn, percebe-se que
P(C\cap A\cap B^C) = P(A\cap C) - P(A\cap B\cap C) = \frac{9}{80}-\frac{1}{16} = \frac{1}{20}

Sendo assim,
P(C | A \cap B^C) = \frac{P(C \cap A \cap B^C)}{P(A \cap B^C)} = \frac{1\big/20}{1\big/4} = \frac{1}{5}.

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