Trigonometria - Onde está o erro?

por Nat' Sex 24 Ago 2012, 22:52

Resolva a equação

$Trigonometria - Onde está o erro? Gif$

para 0 "menor que" x "menor que" π/2.

Resp. π/4

Pessoal eu fiz assim:

$Trigonometria - Onde está o erro? Gif.latex?(tgx)^{senx} = (cotgx)^{cosx}.:. (tgx)^{senx} = (\frac{1}{tgx})^{cosx} .:. (tgx)^{senx} = (tgx^{-1})^{cosx} .:. (tgx)^{senx} = (tgx)^{-cosx} .:$

mas sen π/4 ≠ -cos π/4.

Onde está meu erro?

por DeadLine_Master Sex 24 Ago 2012, 23:18

Observe essa parte:

(tg x)^sen x = (tg x)^(-cos x) =>

Essa equação sempre será verdadeira quando:

tg x = 1 (pois 1^x = 1^y, para todo x, y ∈ ℝ) (1) ou
tg x = 0 (pois 0^x = 0^y, para todo x, y ∈ ℝ*) (2) ou
sen x = -cos x (3)

(1) nos dá a solução desejada (x = π/4)
(2) não satisfaz a condição de existência da função cotangente e portanto é descartada.
(3) nos dá a solução:
{x ∈ ℝ/ x = 3π/4 + kπ, k∈ℤ}
que por não estar no intervalo desejado (0 < x < π/2) é descartada.

S = {π/4}