(ITA) Relação entre a,b e c

por Nat' Ter 21 Ago 2012, 18:25

Qual é a relação que a,b e c devem satisfazer tal que o sistema abaixo tenha pelo menos uma solução?

x + 2y - 3z = a

2x + 6y - 11z = b

x + 2y + 7z = c

Resp. Não existe relação entre a,b e c.

***

Pessoal,

A minha dúvida está consiste no seguinte:

Se a=b=c=0 o sistema será homogêneo, então admitirá pelo menos a solução trivial.

Se o enunciado pede que o sistema tenha "pelo menos uma solução", como é possível não haver nenhuma relação entre a, b e c que o satisfaça??

Obrigada ^^

por danjr5 Ter 21 Ago 2012, 20:12

Olá Nat',
Calculemos o valor do Determinante.

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & - 3 & | & 1 & 2 \\ 2 & 6 & - 11& | & 2 & 6 \\ 1 & 2 & 7 & | & 1 & 2 \end{bmatrix} = 20$

Como o determinante é diferente de zero, não tem como o sistema ser impossível, nem indeterminado, ou seja, ele é determinado.

Qualquer valor de a, b e c irá satisfazer o enunciado.

Veja:

$\\ \begin{bmatrix} a & 2 & - 3 & | & a & 2 \\ b & 6 & - 11& | & b & 6 \\ c & 2 & 7 & | & c & 2 \end{bmatrix} = \\\\ 42a - 22c - 6b + 18c + 22a - 14b = \\ 64a - 20b - 4c$

Daí,
$\\ x = \frac{D_x}{D} \\\\\\ x = \frac{64a - 20b - 4c}{20}$

Se, o numerador for igual a zero, o sistema será determinado, mas, se ele for diferente de zero também será determinado.

Por isso, não há relação!!