relação entre x e y

(ITA 1990) Sejam a e b constantes reais positivas. Considere

x = a².tg(t) + 1 e y² = b².sec²(t) — b² onde 0 ≤ t < π/2 Então uma

relação entre x e y é dada por:


Letra D. Estou com dúvida nesse menos, Muito Obrigada

Devemos eliminar t:
Em x:
(x-1) = a² * tan t
(x-1)/a² = tan t  (I)
Em y:
y² + b² = b² * sec²t
(y²/b²) + 1 = sec² t  (II)
Lembrando da relação que:
sec² t = 1 + tan²t ---> sec²t - 1 = tan²t
Fazendo (I) ao quadrado:
(x-1)²/a⁴ = tan²t = sec²t - 1 = (y²/b²)
---> (x-1)²/a⁴=y²/b²
---> a⁴y²=b²(x-1)²
Agora temos um problema, se extrairmos a raiz quadrada dos dois lados, devemos observar que virá modulo. Para isso, precisamos da informação que 0 <= t < pi/2.
Isso é, x = a² * tan t + 1 > 1 segundo o enunciado.
Logo, obtemos que:
a²*|y|=b*(x-1)
|y| = (b/a²) * (x-1)
Assim, temos duas opções: C ou D. Mas vemos que x >= 1 para qualquer t, então a informação de C que diz que "para todo x pertencente aos reais" é falsa. O que resta a alternativa D.

PS: Poderia também ser a resposta y = (b/a²)*(x-1). Mas não tem alternativa para ela.

porque só foi colocado módulo no y ? e não era para o x-1 está em módulo ?

Matheus Pereira Ferreira escreveu:porque só foi colocado módulo no y ? e não era para o x-1 está em módulo ?

Segue da resolução que x>1, portando x-1>0. O módulo de um número positivo é o número.

NATHGOOL escreveu:(ITA 1990) Sejam a e b constantes reais positivas. Considere

x = a².tg(t) + 1 e y² = b².sec²(t) — b² onde 0 ≤ t < π/2 Então uma

relação entre x e y é dada por:


Letra D. Estou com dúvida nesse menos, Muito Obrigada

R.F.T: sen²t + cos²t = 1 , para todo t € R
Dividindo por cos²t os dois lados e supondo cost não nulo:
tg²t + 1 = sec²t
.: sec²t - 1 = tg²t. (I)
Vamos analisar x:
x = a²tg(t) + 1. (II)
Nos é informado que a é uma constante real positiva, portanto a > 0 e → a² > 0.
Também, que 0 ≤ t < π/2. → tgt € [0, +∞)
Não é difícil perceber que x ≥ 1 para todo t do intervalo dado.
(O caso limite ocorre quando t = 0)

Vamos analisar y:
y² =b²sec²t - b² → y² = b²(sec²t -1)
De (I): y² = b²(tg²t)
Aplicando raiz quadrada dos dois lados:
√y² = √[(b²)(tg²t)]
√y² = √[btgt]²
|y| = |btgt| → |y| = |b||tgt|
Nota: Propriedade do módulo: Se a é um número positivo, então |a| = a.
Como o enunciado garante que é uma constante real positiva então |b| = b. E também, pelo fato de t estar no primeiro quadrante tgt também é positiva, o que implica |tgt| = tgt
Então: |y|/b = tgt (III)
(III) em (II): x = a²(|y|/b) + 1 , x ≥ 1
|y| = (b/a²)(x - 1) , x ≥ 1

|y| pode ser expresso em sua "forma condicional":

        {y , se y ≥ 0
|y| = {ou
        {-y, se y < 0
Então: y = (b/a²)(x-1) , x ≥ 1 e y ≥ 0 ou
-y = (b/a²)(x-1) , x ≥ 1 e y < 0

.: y = (b/a²)(x-1) , x ≥ 1 e y ≥ 0 ou
y = -(b/a²)(x-1) , x ≥ 1 e y < 0
O único item parecido com o exposto é o D.
*Se caísse hoje, uma questão dessa no vestibular, é provável que seria passível de anulação devido a faltar o "e y < 0".