relação entre x e y

(ITA 1990) Sejam a e b constantes reais positivas. Considere

x = a².tg(t) + 1 e y² = b².sec²(t) — b² onde 0 ≤ t < π/2 Então uma

relação entre x e y é dada por:


Letra D. Estou com dúvida nesse menos, Muito Obrigada

Devemos eliminar t:
Em x:
(x-1) = a² * tan t
(x-1)/a² = tan t  (I)
Em y:
y² + b² = b² * sec²t
(y²/b²) + 1 = sec² t  (II)
Lembrando da relação que:
sec² t = 1 + tan²t ---> sec²t - 1 = tan²t
Fazendo (I) ao quadrado:
(x-1)²/a⁴ = tan²t = sec²t - 1 = (y²/b²)
---> (x-1)²/a⁴=y²/b²
---> a⁴y²=b²(x-1)²
Agora temos um problema, se extrairmos a raiz quadrada dos dois lados, devemos observar que virá modulo. Para isso, precisamos da informação que 0 <= t < pi/2.
Isso é, x = a² * tan t + 1 > 1 segundo o enunciado.
Logo, obtemos que:
a²*|y|=b*(x-1)
|y| = (b/a²) * (x-1)
Assim, temos duas opções: C ou D. Mas vemos que x >= 1 para qualquer t, então a informação de C que diz que "para todo x pertencente aos reais" é falsa. O que resta a alternativa D.

PS: Poderia também ser a resposta y = (b/a²)*(x-1). Mas não tem alternativa para ela.

porque só foi colocado módulo no y ? e não era para o x-1 está em módulo ?

Matheus Pereira Ferreira escreveu:porque só foi colocado módulo no y ? e não era para o x-1 está em módulo ?

Segue da resolução que x>1, portando x-1>0. O módulo de um número positivo é o número.