Funções trigonométricas

por Isaac Soares Dom 19 Ago 2012, 23:35

Estou com problemas nesse tipo de questão , gostaria que alguém me explicasse
Estude a variação da seguinte função real: g(x) √3.cos(x) - sen(x)
Resposta : Período = 2π e imagem [-2,2]
Desde já obrigado

por **Euclides** Seg 20 Ago 2012, 00:58

As funções seno e cosseno têm ambas períodos de $2\pi$ . Sua soma ou subtração tem o mesmo período.

Para encontrar seus valores máximo e mínimo (sem usar derivação) podemos encontrar duas raízes consecutivas e o seu ponto médio cosrresponderá ao valor de $x$ para $g(x)$ máxima, ou mínima.

$\\\sqrt{3}cos(x)-sen(x)=0\\\sqrt{3}cos(x)=\sqrt{1-cos^2(x)}\\3cos^2(x)=1-cos^2(x)\\4cos^2(x)-1=0\\\\cos(x)=\frac{1}{2}\;\;\;\to\;\;\;x=\frac{\pi}{3}+k\pi$

duas raízes consecutivas são:

$\frac{\pi}{3}\;\;\;\;\;\;\;\frac{4\pi}{3}$

cujo ponto médio é

$\left (\frac{\pi}{3}+\frac{4\pi}{3} \right )\times \frac{1}{2}=\frac{5\pi}{6}$

substituímos esse valor em g(x)

$\\g\left ( \frac{5\pi}{6} \right )=\sqrt{3}cos\left ( \frac{5\pi}{6} \right )-sen\left ( \frac{5\pi}{6} \right )\\\\\\g\left ( \frac{5\pi}{6} \right )=-\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=-2\leftarrow \text{ mínimo de }g(x)$

o máximo é simétrico

$\\+2\leftarrow \text{ máximo de }g(x)$

Funções trigonométricas Storm