Parábola UFMG
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Parábola UFMG
por Fernando_Vieira Qui 02 Ago 2012, 11:12
(UFMG) Sabe-se que o ponto P(a, b) pertence à parábola de equação y = x² e que A = (0, 1). DETERMINE aqueles pontos P tais que AP seja perpendicular à reta tangente à parábola no ponto P.
Fernando_Vieira- Padawan
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Re: Parábola UFMG
por parofi Qui 02 Ago 2012, 11:51
Olá:
O declive da reta AP é m= (b-1)/(a-0) = (b-1)/a. Logo, o declive de uma reta perpendicular a AP é m'= -a/(b-1)=a/(1-b).
Como a tangente à curva y=x^2, no ponto de abcissa x é y'=2x, vem, para x=a:
2a=a/(1-a^2)↔2a-2a^3=a ↔a-2a^3=0 ↔ a(1-2a^2)=0 ↔a=0 ٧ a^2=1/2 ↔a=0 ٧ a=(√ 2)/2 ٧ a=-(√ 2)/2.
Então há 3 soluções: (0,0),(√ 2/2,1/2) e (-√ 2/2,1/2).
O declive da reta AP é m= (b-1)/(a-0) = (b-1)/a. Logo, o declive de uma reta perpendicular a AP é m'= -a/(b-1)=a/(1-b).
Como a tangente à curva y=x^2, no ponto de abcissa x é y'=2x, vem, para x=a:
2a=a/(1-a^2)↔2a-2a^3=a ↔a-2a^3=0 ↔ a(1-2a^2)=0 ↔a=0 ٧ a^2=1/2 ↔a=0 ٧ a=(√ 2)/2 ٧ a=-(√ 2)/2.
Então há 3 soluções: (0,0),(√ 2/2,1/2) e (-√ 2/2,1/2).
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Re: Parábola UFMG
por Elcioschin Qui 02 Ago 2012, 12:03
Tens o gabarito?
Se tiver, por favor, poste-o
y = x² -----> P(a, b) ----> b = a² ----> P(a, a²)
Equação da reta que passa por A e P:
y - yA = [(yP - yA)/(xP - xA)]*(x - xA) ---> y - 1 = [(a² - 1)/(a - 0)]*(x - 0) ----> y = [(a² - 1)/a]*x + 1
Coeficiente angular desta reta ----> m' = (a² - 1)/a
O coeficiente angular da reta tangente à curva no ponto P vale: y' = 2x ----> m = 2a
Como as retas são perpendiculares ---> m*m' = -1 ---> 2a*(a² - 1)/a = -1 ---> a*(2a² - 2) = -a ---> a*(2a² - 1) = 0
Soluções:
1) Para a = 0 ----> b = 0 -----> P(0, 0)
1) Para a = \/2/2 ----> b = a² ---> b = 1/2 -----> P(\/2/2, 1/2)
2) Para a = -\/2/2 ---> b = a² ----> b = 1/2-----> P(*-\/2/2, 1/2)
Se tiver, por favor, poste-o
y = x² -----> P(a, b) ----> b = a² ----> P(a, a²)
Equação da reta que passa por A e P:
y - yA = [(yP - yA)/(xP - xA)]*(x - xA) ---> y - 1 = [(a² - 1)/(a - 0)]*(x - 0) ----> y = [(a² - 1)/a]*x + 1
Coeficiente angular desta reta ----> m' = (a² - 1)/a
O coeficiente angular da reta tangente à curva no ponto P vale: y' = 2x ----> m = 2a
Como as retas são perpendiculares ---> m*m' = -1 ---> 2a*(a² - 1)/a = -1 ---> a*(2a² - 2) = -a ---> a*(2a² - 1) = 0
Soluções:
1) Para a = 0 ----> b = 0 -----> P(0, 0)
1) Para a = \/2/2 ----> b = a² ---> b = 1/2 -----> P(\/2/2, 1/2)
2) Para a = -\/2/2 ---> b = a² ----> b = 1/2-----> P(*-\/2/2, 1/2)
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Re: Parábola UFMG
por Fernando_Vieira Sex 03 Ago 2012, 11:15
Mestre Elcioschin, não entendi o que você fez nesta parte: "O coeficiente angular da reta tangente à curva no ponto P vale: y' = 2x ----> m = 2a"
Você usou derivada para achar o coeficiente angular da reta tangente? Tem alguma maneira de achar o coeficiente da reta tangente sem derivar? (é que eu ainda não sei derivar!)
Você usou derivada para achar o coeficiente angular da reta tangente? Tem alguma maneira de achar o coeficiente da reta tangente sem derivar? (é que eu ainda não sei derivar!)
Fernando_Vieira- Padawan
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Re: Parábola UFMG
por Elcioschin Sáb 04 Ago 2012, 22:05
Fernando
Sim, tanto eu como o Parofi utilizamos derivadas: y' é a derivada da dução y
Para este problema só consigo vislumbrar a solução por derivadas
Entretando, derivar uma função do 2º grau é muito fácil:
y = ax² + bx + c ------> y' = 2ax + b
No teu problema a = 1, b = 0, c = 0 ----> y = x² ----> y' = 2x
No ponto de abcissa x = a ----> y' = 2a
Sim, tanto eu como o Parofi utilizamos derivadas: y' é a derivada da dução y
Para este problema só consigo vislumbrar a solução por derivadas
Entretando, derivar uma função do 2º grau é muito fácil:
y = ax² + bx + c ------> y' = 2ax + b
No teu problema a = 1, b = 0, c = 0 ----> y = x² ----> y' = 2x
No ponto de abcissa x = a ----> y' = 2a
Elcioschin- Grande Mestre
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