retas tangentes

Determinar as equações das retas tangentes à circunferência x² + y² + 2x - 3 = 0 e que passam pelo ponto P (5, 2). Se alguem puder me explicar como faço, agradeço.

Reta y = 2...?

As retas que passam no ponto P(5,2) têm uma equação da forma: y-2=m(x-5) ↔ mx-y-5m+2=0.

A equação da circunferência é equivalente a (x+1)² + y² = 4. O seu centro é C(-1,0) e o raio é 2.

Então a distância de C às retas tangentes terá de ser 2, ou seja |m(-1)-0-5m+2|/raíz(m²+(-1)²)=2 , donde vem: |-6m+2|=2raíz(m²+1). Elevando ao quadrado ambos os membros: 36m²-24m+4=4m²+4 ↔ m(32m-24)=0↔m=0 ou m=3/4.

Se m=0: y-2=0(x-5) ↔y=2; se m=3/4: y-2=3/4(x-5)↔y=(3/4)x-7/4. São estas as equações das duas retas tangentes.

x² + y² + 2x - 3 = 0

(x² + 2x + 1) - 1 + 2y - 3 = 0 ----> (x + 1)² + (y - 0)² = 2² ----> Centro C(-1, 0) e raio R = 2

Faça um desenho e loque o ponto P(5, 2)

Uma tangente é óbvia -----> Reta y = 2 (paralela ao eixo x

Trace a outra tangente no ponto T (no 4º quadrante)

Coeficiente angular da reta PC ----> tgα = (2- 0)[5 - (-1)] = 1/3

Note agora que o ângulo da primeira tangente (y = 2) com a reta PC também vale α.

Neste caso,o ângulo de PT com o eixo X vale 2α (opostos pelo vértice)

Coeficiente angular da reta PT ----> m = tg(2α) = 2*(1/3)/(1 - 1/9) = 3/4

Equação da reta PT, passando por P(5, 2):

y - 2 = (3/4)*(x - 5) ----> 4y - 8 = 3x - 15 ---> 3x - 4y - 7 = 0

parofi escreveu:

As retas que passam no ponto P(5,2) têm uma equação da forma: y-2=m(x-5) mx-y-5m+2=0.

A equação da circunferência é equivalente a (x+1)² + y² = 4. O seu centro é C(-1,0) e o raio é 2.

Então a distância de C às retas tangentes terá de ser 2, ou seja |m(-1)-0-5m+2|/raíz(m²+(-1)²)=2 , donde vem: |-6m+2|=2raíz(m²+1). Elevando ao quadrado ambos os membros: 36m²-24m+4=4m²+4 m(32m-24)=0m=0 ou m=3/4.

Se m=0: y-2=0(x-5) y=2; se m=3/4: y-2=3/4(x-5)y=(3/4)x-7/4. São estas as equações das duas retas tangentes.

Muito bom parofi! Eu sabia que faltava algo, não me atentei! Abraços