Retas Tangentes

Poderiam me ajudar nessa questão, por favor?

F(x) = x³ - 3x² + 2x

Enunciado: Existe um ponto (0,p) em que passam três retas tangentes a curva citada. Sendo assim, quanto vale p?

Minha resolução até certo ponto:

Seja a um valor qualquer para x:

F(a) = a³ - 3a² + 2a

F'(a) = 3a² - 6a + 2

Descobrindo a equação da reta tangente a curva no ponto (a,f(a)):

y - f(a) = f'(a) . (x - a)

y - a³ + 3a² - 2a = (3a² - 6a + 2).x -3a³ +6a² - 2a

y = (3a² - 6a + 2).x -2a³ + 3a²

Ou seja, escrevendo o ponto p em função de a, temos: p(a) = -2a³ + 3a²

Daí, o ponto em que passam três tangentes, pode ser escrito como (0, -2a³ + 3a²)...

Até aqui, está tudo certo? Se sim, o que eu faço agora?

Agradeço desde já qualquer eventual resposta!!!

Alguém?

Apenas uma correção.. Na verdade, a questão pede o intervalo de valores de "p"....

Oi amigo, boa noite.

O que você fez está totalmente correto. O que temos que fazer agora é encontrar valores de p que garantem que existirão três raízes reais para a equação: p = -2a³+3a²

Veja o gráfico da função f(x)=-2x³+3x²:





Descobrir quais são os valores de p que geram três raízes para a equação f(x)=p é a mesma coisa que descobrir quais são os valores de p que geram retas horizontais y=p que cortam o gráfico de f(x) em três momentos. Pelo gráfico você vê que para -∞ f(x) só aumenta e só temos um corte. Para +∞ f(x) só decresce e novamente só temos um corte. 
Entretanto, para o intervalo de 0 < x < 1.5 temos que qualquer reta vertical y=p com 0 < p < 1 corta o gráfico três vezes. Assim, teremos que no intervalo (0,1) p gerará três raízes reais para a equação, ou seja, três retas tangentes da curva original cortarão o ponto (0,p).

Espero ter ajudado
Observação: Veja que para x=0 e x=1.5 (ou seja, p=0 e p=1) só há dois cortes, pois temos duas inflexões.

Muito obrigado! Não sei como não percebi isso antes kk! Vou terminar de resolver as outras semelhantes a essa de um material que eu tenho aqui!

Valeu!