Números Complexos

por Nat' Qui 12 Jul 2012, 09:16

Alguém sabe como resolver essa questão?

Eu pensei em resolver por polinômios simétricos, mas do jeito que eu estava pensando, a conta seria enooorme! Talvez exista alguma maneira obivía que eu não percebi!

Se α, β e γ são números complexos tais que α + β + γ = 1, α² + β² + γ² = 3 e α³ + β³ + γ³ = 7. Determine o valor de α²¹ + β²¹ + γ²¹.

Agradeço desde já!

por **fantecele** Sáb 26 maio 2018, 12:19

A ideia é por polinômios simétricos mesmo.

Vamos chamar Sn = a^n + b^n + c^n e K1 = a + b + c, K2 = ab + ac + bc e K3 = abc.

K1 nós já temos que é igual a 1, K2 é facilmente calculado através da expansão de (a + b + c)² sendo esse igual a -1 e K3 nós podemos calcular através de polinômios simétricos:

Lembrando que $\\S_n = S_{n-1}.K_1-S_{n-2}.K2+S_{n-3}.K_3$ :

S3 = S2.K1 - S1.K2 + S0.K3
7 = 3.1 - 1.(-1) + 3.K3
7 = 4 + 3.K3
K3 = 1

Daqui tiramos que Sn será igual a:

$\\S_n = S_{n-1}+S_{n-2}+S_{n-3}$

Daqui você pode encontrar o termo geral da recorrência se quiser, mas será um pouco que muito difícil, a maneira mais simples é ir achando de um por um até o S21, que não é bem simples.