Números Complexos

Alguém poderia me ajudar comprovando a igualdade abaixo? Ela é verdadeira.

Olá, Bruna!

Para mostrar isso daí, vamos, primeiramente, transformar o lado direito da equação, veja:

|(1 - 2i)¹⁰⁰| = ((5⁵)⁵)² ⇒ |(1 - 2i)¹⁰⁰| = ((5⁵)¹⁰) ⇒ |(1 - 2i)¹⁰⁰| = 5⁵⁰.

Bom, agora a ideia é trabalhar com os complexos em sua forma polar, isso porque, quando se trata de potências muito grandes, é mais fácil usarmos a forma trigonométrica. Isso não é regra geral, mas serve na maior parte das vezes. 

Substituindo 1 - 2i por ρ(cos θ + isen θ), vem: |(1 - 2i)¹⁰⁰| = 5⁵⁰ ⇒ |(ρ(cos θ + isen θ))¹⁰⁰| = 5⁵⁰. Lembre-se que zⁿ = ρⁿ(cos nθ + isen nθ). Daí: |(ρ¹⁰⁰(cos 100θ + isen 100θ))| = 5⁵⁰. 

Pensemos, agora, em 1 - 2i na sua forma trigonométrica. Sendo z = ρ(cos θ + isen θ), calculemos, primeiramente, seu módulo: ρ = √(1² + 2²) ⇒ ρ = √5. 


Acredito ser algo assim. Avise-me se houver algum erro durante a resolução ou se lhe restarem dúvidas.

No mais, bons estudos!


Edit.: Anteriormente a resolução era falha pela seguinte atribuição:
"Aqui, lembre-se que cos θ = cos 2θ = cos 2kθ, onde k ∈ ℤ, o mesmo valendo para sen θ". O certo seria dizer que cos θ = cos 2kπθ, o que não corresponde ao que foi escrito.

tales amaral escreveu:[size=30]Minha dúvida é na parte cos θ = cos 2θ. Se [/size][size=30]θ = 30º já é falso, ou eu estou louco?[/size]

Você está certo. O certo seria dizer que cos θ = cos 2πθ. Há um erro conceitual na resolução. Vou tentar buscar outra ideia.

[latex]  |(1+2i)^{100}| = |(1+2i)|^{100} = (\sqrt 5)^{100} = 5^{50} [/latex]