Números Complexos!

Bom Dia!


Sou aluno do cursinho Objetivo de Santos, gostaria bastante de uma ajuda de vocês. Embora ache que seja bem fácil, existe uma certa parte do estudo de números complexos que eu fico confuso: Raízes complexas.

Por exemplo, consigo resolver as "raízes sexta de -64". Sigo o seguinte método:

Escrevo um número complexo genérico na forma trigonométrica (z = p . (cosx + i.senx). Substituo o módulo (p) por uma raiz que eu saiba que é válida. No caso do -64, eu sei que 2i e - 2i são raízes válidas. Logo, o módulo vale 2.

Então fica z = 2 . (cosx + i.senx). Então eu divido 360 graus pelo índice da raiz. No caso, dá 60. Então substituo o "primeiro" argumento por 60, depois sei que a próxima raiz terá como ângulo o 120 (60+60), depois o 180 (60+60+60), e por aí vai, numa P.A....

Porém, sinto uma enorme dificuldade em resolver, por exemplo, as raízes quartas de -16. Como não há resposta em que a parte real do número complexo seja nula, não consigo achá-la mentalmente, E é evidente que esse método de encontrar os resultados é lento e complicado. Alguém tem uma sugestão melhor pra resolver isso?

E, se puderem, resolvam didaticamente essas questões:

Diga quais são as:

Raízes quartas de -16.

Raízes cúbicas de 8i.

Raízes quartas de 16.



Obrigado! Espero aprender com vocês!

Tenho uma sugestão sim: 2ª fórmula de Moivre. 
Ela é basicamente isso aí que você falou. 

Se um número z tem módulo p, argumento principal θ e queremos encontrar suas raízes enésimas: 




com k inteiro a variando de 0 a n-1. Perceba, então, que há apenas n raízes enésimas.

Para encontrar as raízes de um número complexo, primeiro determine seu módulo p e seu argumento. Note que -16 pode ser escrito na forma z = x + yi -> -16 + 0i. Determinemos o módulo, que é raiz quadrada da norma:

\/(x²+y²) = \/[(-16)² + 0² = \/16² = 16. 

O argumento principal: 

cos θ = x/p = 16/-16 = -1
sen θ  = y/p = 0/-16 = 0


O ângulo, em radianos, que tem cos -1 e sen 0 é pi. A forma trigonométrica é z = 16 (cos pi + i.sen pi). Agora, precisamos encontrar a forma geral das raízes desse complexo: 





Substituindo os valores calculados:






Agora tente fazer o resto. Substitua, em k, os valores 0, 1, 2 e 3 para encontrar as quatro raízes quartas de -16. Faça os cálculos como está acostumado e poste o que encontrar aqui para conferirmos. 


Abraço

Gabriel Rodrigues escreveu:Tenho uma sugestão sim: 2ª fórmula de Moivre. 
Ela é basicamente isso aí que você falou. 

Se um número z tem módulo p, argumento principal θ e queremos encontrar suas raízes enésimas: 




com k inteiro a variando de 0 a n-1. Perceba, então, que há apenas n raízes enésimas.

Para encontrar as raízes de um número complexo, primeiro determine seu módulo p e seu argumento. Note que -16 pode ser escrito na forma z = x + yi -> -16 + 0i. Determinemos o módulo, que é raiz quadrada da norma:

\/(x²+y²) = \/[(-16)² + 0² = \/16² = 16. 

O argumento principal: 

cos θ = x/p = 16/-16 = -1
sen θ  = y/p = 0/-16 = 0


O ângulo, em radianos, que tem cos -1 e sen 0 é pi. A forma trigonométrica é z = 16 (cos pi + i.sen pi). Agora, precisamos encontrar a forma geral das raízes desse complexo: 





Substituindo os valores calculados:






Agora tente fazer o resto. Substitua, em k, os valores 0, 1, 2 e 3 para encontrar as quatro raízes quartas de -16. Faça os cálculos como está acostumado e poste o que encontrar aqui para conferirmos. 


Abraço

Uau, que aula! Deu muito certo, não obstante a fórmula ser bem difícil de "decorar". Mas seguindo ela, é fácil enxergar os conceitos. Valeu cara, consegui resolver tudo!

pedrorriva escreveu:Uau, que aula! Deu muito certo, não obstante a fórmula ser bem difícil de "decorar". Mas seguindo ela, é fácil enxergar os conceitos. Valeu cara, consegui resolver tudo!

Nem precisa se preocupar tanto em decorar a fórmula, basta a aplicação de algumas propriedades de trigonometria e números complexos para se chegar as fórmulas de Moivre. Pesquise sobre as demonstrações que vc vai ver.

Obrigado  

Você não terá problemas em decorar as duas fórmulas de Moivre pois conseguiu compreender como os argumentos se relacionam na circunferência, as P.A's, etc. Essas fórmulas são só uma maneira de organizar isso. Fazendo os exercícios você não esquece mais não.

Eu geralmente escrevo o complexo z na forma trigonométrica e depois extraio as raízes.

Para as raízes quartas de 16:
z = 16 = 16cis(2pi) = 2⁴cis(2pi)
Extraindo as raízes quartas:
z_n = 2cis[(2pi/n) + (2kpi/n)], k = {0, 2, ..., n-1}
Para os 4 valores de k:
z₀ = 2cis(pi/2) = 2i
z₁ = 2cis(pi) = -2
z₂ = 2cis(3pi/2) = -2i
z₃ = 2cis(2pi) = 2
OBS.: se você quisesse usar cis(0) ao invés de cis(2pi) daria a mesma coisa, mas fiz por questão de didática.

Para as raízes cúbicas de 8i, vou começar novamente escrevendo na forma trigonométrica o z:
z = 8i = 2³cis(pi)
Extraindo as raízes cúbicas:
z_n = 2cis[(pi/n) + (2kpi/n)]
Para os 3 valores de k:
z₀ = 2cis(pi/3) = 1 + i*sqrt(3)
z₁ = 2cis(pi) = -2i
z₂ = 2cis(5pi/3) = 1 - i*sqrt(3)
Se quiser continuar procurando mais raízes, vai encontrar as mesmas acima:
z₃ = 2cis[(pi/3) + (2pi)] = z_0

As raízes quartas de -16 vocês faz do mesmo modo que essas de cima:
z = -16 = 2⁴cis(pi)
z_n = 2cis[(pi/4) + (kpi/2)]
A continuação é fácil ;p

Se você quiser por exemplo, tirar as raízes sétimas de -15i, fica:
z = -15i = 15cis(3pi/2)
z_n = 15^1/7cis[(3pi/14) + (2kpi/7)]

Não tem muito segredo... A prática leva a uma boa acomodação haha.

OBS: cis(x) = cos(x) + isen(x)

;P

Se você ainda quiser mais, procure saber sobre representação de raízes complexas no plano de Argand-Gauss. Algumas vezes dá preguiça de escrever na forma trigonométrica, ai basta formar um polígono com as raízes e usar geometria plana mesmo. É legal, vale a pena ter cada vez mais modos de fazer uma questão.


Por exemplo, raízes sextas do número 1 formam os vértices um hexágono que distam 1 da origem.
Raízes terças de 8 formam vértices de um triângulo que distam 8^1/3 = 2 da origem.