Números complexos

por Gabriel Rodrigues Qui 15 Ago 2013, 16:06

Sejam os números complexos u = 1 + i e v = 1 - i. Calcule u^52 . v^-51.

(não tenho gabarito)

Eu fiz da seguinte forma, mas não sei se está correto. Gostaria de uma confirmação.

(1+i)^52 . (1-i)^-51 = (1+i)^52 . 1/(1-i)^52 = (1+i)^[4.13] . 1/(1-i)^[4.12+3] = 1 . 1/-i = 1/-i = 1/-i . (+i)/(+i) = i/-i² = i / -(-1) = i/1 = i

Na verdade, o gabarito indica v = 1-i, mas deve ter sido erro de digitação.

por Luck Qui 15 Ago 2013, 16:36

(1+i)² = 1 + 2i +i² = 2i
u^52 = (1+i)²^(26) = (2i)^26 = -2^26

(1-i)² = (1 -2i +i²) = -2i
v^51 = (1-i)^50.(1-i)
v^51 = (-2i)^25.(1-i)
v^51 = (-i).2^25 .(1-i)
v^51 = -2^25 .(1+i)

u^52/v^51 = [-2^(26)]/[-2^(25) (i+1) ]
u^52/v^51 = 2/(1+i)
racionalizando:
u^51/v^51 = 1 - i

por Gabriel Rodrigues Qui 15 Ago 2013, 19:02

Obrigado

por Rumo a EsPCEx Qui 13 Jan 2022, 13:21

Luck escreveu:(1+i)² = 1 + 2i +i² = 2i
u^52 = (1+i)²^(26) = (2i)^26 = -2^26

(1-i)² = (1 -2i +i²) = -2i
v^51 = (1-i)^50.(1-i)
v^51 = (-2i)^25.(1-i)
v^51 = (-i).2^25 .(1-i)
v^51 = -2^25 .(1+i)

u^52/v^51 = [-2^(26)]/[-2^(25) (i+1) ]
u^52/v^51 = 2/(1+i)
racionalizando:
u^51/v^51 = 1 - i

Alguém pode explicar esses dois passos que estão marcados com a seta ? Não entendi as mudanças no sinal do 2 e do 1-i

por gusborgs Qui 13 Jan 2022, 17:46

Opa, veja aí se dá para entender. Ficou um pouco mais longa.

por gusborgs Qui 13 Jan 2022, 17:49

Só corrigindo um erro ali no final:

- 4 / (- 2i - 2)
2 / i + 1
2i - 2 / -1 - 1
2i - 2 / -2
-i + 1

por Rumo a EsPCEx Qui 13 Jan 2022, 18:04

Obrigado, guerreiro!

por Rumo a EsPCEx Qui 13 Jan 2022, 19:00

gusborgs escreveu:Só corrigindo um erro ali no final:

- 4 / (- 2i - 2)
2 / i + 1
2i - 2 / -1 - 1
2i - 2 / -2
-i + 1

Você cometeu um pequeno erro. No final, a divisão é por 2, não por -2.

(1+i)(1-i) = produto notável: quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo. Sendo assim fica: (1²-i²) = (1-(-1))=2. E a resposta, de acordo com meu livro, é 1- i.