Números Complexos

por **Pietro di Bernadone** Sex 25 Jun 2010, 10:55

Bom dia prezados usuários do Pir²!

Determine o menor número natural n de modo que ${(\sqrt[]{3}-i)}^{n}$ seja um número imaginário (complexo) puro.

Certo de sua atenção,

Pietro di Bernadone

por **Elcioschin** Sex 25 Jun 2010, 14:19

(V3 - i)^n = [2*(V3/2 - i*(1/2)]^n = (2^n)*[cos(n*30º) - i*sen(n*30º)]

sen(30n) = 0 ----> n*30º = 180º ----> n = 6

por **Pietro di Bernadone** Sex 25 Jun 2010, 15:31

Boa tarde prezado Elcio!

Elcio, deixa eu ver se entendi sua solução..

Você encontrou: |z|=2 --> cos.α = V3/2

sen.α= 1/2

Eu encontrei sen.α= -1/2

O valor do ângulo que atende essas condições não é 11π/6?

Os questionamentos que fiz acima alteraria a resposta?

Certo de sua atenção,

Pietro di Bernadone

por **Elcioschin** Seg 28 Jun 2010, 17:40

Pietro

Seu questionamento altera a resposta sim:

Eu resolví como se fosse para obter um número real e o que o enunciado pede é para se obter um imaginário puro.

(V3 - i)^n = [2*(V3/2 + i*(-1/2)]^n = (2^n)*[cos(-30º) + i*sen(-30º)]^n =

(2^n)*[cos(-30ºn) + i*sen(-30º*n)]

Imaginário puro ---> cos(-30º*n) = 0 ----> -30º*n = - 90º ----> n = 3

Vamos testar para confirmar:

(V3 - i)³ = (V3)³ - 3*(V3)²*i + 3*V3*i² - i³

(V3 - i)³ = 3*V3 - 9i - 3*V3 + i

(V3 - i)³ = - 8i ---> Imaginário puro