Radicais Cúbicos

por Arkanus Dom 08 Jul 2012, 15:26

Utilizando um software, encontrei que $\sqrt[3]{(26+15\sqrt3)} = 2+\sqrt3$
Mas como chegar a esse resultado?
É possível, a partir da resposta e utilizando a fórmula da soma de cubos, encontrar que:
$(26+15\sqrt3) = 2^3 + 3.2^2.\sqrt3 + 3.2.\sqrt3^2 + \sqrt3^3$
Em um outro caso semelhante, teríamos:
$(20+14\sqrt2) = 2^3 + 3.2^2.\sqrt2 + 3.2.\sqrt2^2 + \sqrt2^3 = 2+\sqrt2$

Haveria alguma forma genérica de trabalhar com estes radicais?
Obrigado.
Obs.: Esta dúvida não se refere a nenhum exercício específico.

por **aryleudo** Dom 08 Jul 2012, 15:42

Sei que existe uma técnica para raiz quadrada é o chamado "radical duplo". Agora com raiz cúbica não vi...

Muito interessante sua dúvida, se existir essa ferramenta facilitaria bastante resolver problema dessa natureza. A propósito, esse tipo de questão é muito comum em concursos militares como o Colégio Naval - CN.

por **Elcioschin** Dom 08 Jul 2012, 16:21

Existe um modo sim, partindo do pressuposto de que existem soluções inteiras:

³\/(26 + 15*\/3) = a + b*\/3

26 + 15*\/3 = (a + b*\/3)³

26 + 15*\/3 = a³ + 3a²b\/3 + 3ab²3 + 3\/3b³

26 + 15\/3 = a*(a² + 9b²) + b*(3a² + 3b²)\/3 ----> Comparando termo a termo:

a*(a² + 9b²) = 26 ----> a(a² + 9b²) = 1*2*13 -----> a = 2 ----> 2² + 9b = 13 ----> b = 1

b*(3a² + 3b²) = 15 ----> b(3a² + 3b²) = 1*3*5 ----> b = 1 ----> 3a² + 3*1² = 15 ----> a = 2

Esta é a única solução inteira possível

Para o outro, façam de modo similar ----> ³\/(26 + 14\/2) = a + b\/2

por Arkanus Dom 08 Jul 2012, 19:56

aryleudo escreveu:[justify]Sei que existe uma técnica para raiz quadrada é o chamado "radical duplo". Agora com raiz cúbica não vi..

Antes de criar o tópico tentei usá-la nesta raiz cúbica:
$\sqrt[3]{20+14\sqrt{2}} = \sqrt[3]{20+\sqrt{392}} = \sqrt[\frac{3}{2}]\sqrt{{(20+\sqrt{392})}}$
Porém, não é possível transformar esta raiz:
$\sqrt{{20+\sqrt{392}}} = \sqrt{2+6\sqrt{11}}$
Então:
$\sqrt[3]{2+6\sqrt{11}} = \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{1+3\sqrt{11}} = \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{1+\sqrt{99}} = ...$
Ou ainda:
$\sqrt[3]{20+14\sqrt{2}} = \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{10+7\sqrt2} = \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{10+\sqrt{98}} = \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{1+\sqrt{99}} = ...$

por Arkanus Dom 08 Jul 2012, 20:00

1) a(a² + 9b²) = 1*2*13 -----> a = 2
2) b(3a² + 3b²) = 1*3*5 -----> b = 1
Elcio, poderia me explicar melhor estas passagens?

por **Elcioschin** Dom 08 Jul 2012, 22:52

Da igualdade 1, tratando-se de valores inteiros para a, b

1) O valor inteiro de a pode ser: 1, 2, 13, 26 (divisores inteiros de 26)

2) Se você testar cada um deles verá que a única solução inteira é a = 2 e b = 1

3) O mesmo vale para a equação 2 ----> b = 1, 3, 5, 15 ----> ùnico valor é b = 1 e a = 2