Elipse e Circunferência - (UFMG)

(UFMG) Uma elipse é o conjunto de pontos no plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos F₁ e F₂ é uma constante igual a k.

A) DETERMINE a equação da elipse em que F₁ = (-√15, 0), F₂ = (√15, 0) e k = 8.

B) Seja C uma circunferência de centro (1, 0) e raio r. DETERMINE os valores de r para os quais a interseção de C com a elipse do item A seja não vazia.

perceba que os focos sao simetricos a origem, entao sabemos que o centro dessa elipse é a origem (0,0), falta descobrir o "a" e o "b" ficando essa estrutura:

x²/a² + y²/b² = 1

sabemos que o "a" é a hipotenusa do triangulo cujo cateto é metade do eixo menor e distancia do centro ao foco, esse ultimo ja temos que é v15

Mas ele da um dado que a soma das distancias é 8

entao sabemos que 2.a = 8 (monte o desenho para melhor visualizaçao)

a = 4

agora descobriremos o 'b' por pitagoras

4² = v15² + b²

16 - 15 = b²

b = 1

entao a equaçao sera dada por

x²/16 + y² =1



B)Motando a equaçao da circunferencia:

(x-1)² + y² = r

entao faremos a intersecçao entre a elipse e a circunferencia

y² = 1 - x²/16

substituindo na circunferencia:

(x-1)² + 1 - x²/16 = r

desenvolvendo:

15x²/16 - 2x + 2 -r=0

Agora vamos analisar o Delta

se delta<0 ele nao tera intersecçoes com a elipse

se delta = 0 ele vai tangenciar a elipse

e se delta >0 ele vai ter ao maximo 4 intersecçoes

o que nos interessa é o delta = 0

ja que para ele tangenciar a elipse, ele vai ter o menor raio possivel para haver uma intersecçao enta:

delta=0

4 -4.(2-r)15/16 = 0

r = 14/15

ou seja para qualquer valor acima de 14/15 para 'r' existe intersecçao

entao:

r> 14/15 (maior ou igual)

Apenas duas observações.

1)
O colega Márcio esqueceu que o r na fórmula da circunferência está ao quadrado, então o valor calculado fica
r ≥ √(14/15)

2)
Com esse valor de R, a circunferência inicia tangente interna à elipse e vai crescendo. Porém o limite para contato entre as duas curvas é quando R chegar a
xC + a = 1 + 4 = 5
Neste instante a circunferência será tangente externa à elipse somente no ponto (-4, 0).

Logo, para haver a intersecção, devemos ter
√(14/15) ≤ r ≤ 5