Derivadas

Mostre que se um corpo cai submetido à ação da gravidade e de uma força de resistência do ar proporcional à sua velocidade, então existe um valor limite para o qual sua velocidade vai se aproximando quando o tempo tende a infinito.

P = m.g

A = -kv

R = P + A = ma

mg - kv = ma

v = (mg-ma)/k

Todos os vetores no eixo vertical:

v = mg/k - ma/k

Fazendo: m/k = c , a = dv/dt = v'

v = c.g -c.(dv/dt)

v.dt = c.g.dt - c.dv

v.dt -c.g.dt = -c.dv

dt(v-c.g) = -c.dv

dv/(v-c.g) = -dt/c

∫dv/(v-c.g) = ∫-dt/c

ln(v-c.g) = -t/c + D

v - c.g = e^(-t/c + D)

v = c.g + e^(-t/c + D)

v = c.g + e^(-t/c).e^(D)

Sendo v(0) = 0:

c.g + e^(0/c).e^(D) = 0

c.g + 1.e^(D) = 0

e^(D) = -c.g

v = c.g - c.g.e^(-t/c)

v = c.g(1 - e^(-t/c) )

lim(v) quando t tende a infinito é igual a:

limite de c.g(1 - e^(-t/c) ) quando t tende a infinito.

Quando t tende a infinito:

e^(-t/c) tende a zero e v tende a c.g

Logo a Velocidade limite é:

vLim = m.g/k

Obrigada, Rihan