Derivadas

por Luzia Lima Ter Nov 11 2014, 22:16

Dada a função f(x,y)=√(2xy+y²) calcule as derivadas indicadas:
∂²f/∂x∂y
∂³f/∂x³

por MCarsten Ter Nov 11 2014, 22:40

a) $\frac{\partial}{\partial x} \sqrt{2xy + y^2}$

Como é uma função composta, aplique a regra da cadeia:
$u = 2xy + y^2$

$du = 2y\; dx$

$f'(u) = u \cdot u'$

$\frac{d}{du} \sqrt{u} = \frac{1}{2\sqrt{u}}$

Substituindo u:
$\frac{1}{2\sqrt{2xy+y^2}} \cdot 2y$

Resolvendo a cadeia:
$\frac{2y}{2\sqrt{2xy+y^2}} \to \boxed{= \frac{y}{\sqrt{2xy+y^2}}}$

Agora derivando este resultado em relação a y:
$\frac{\partial}{\partial y} \left [ \frac{y}{\sqrt{2xy + y^2}} \right ]$

Como trata-se de uma divisão de funções, aplique a regra do quociente. Chegará em:
$\boxed{= \frac{xy}{\sqrt{(2xy+y^2)^3}}}$

b) Aplique a regra do quociente sucessivamente, derivando em relação a x:
$\frac{\partial }{\partial x} \sqrt{2xy+y^2} = \frac{y}{\sqrt{2xy+y^2}} \\ \\ \\ \frac{\partial^2}{\partial x^2} \sqrt{2xy+y^2} = -\frac{y^2}{\sqrt{(2xy+y^2)^3}} \\ \\ \\ \frac{\partial^3}{\partial x^3} \sqrt{2xy+y^2} \;\;\boxed{= \frac{3y^3}{\sqrt{(2xy+y^2)^5}}}$

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