área de figuras planas

por carlex28 Seg 14 maio 2012, 10:56

Encontre a área do quadrado inscrito no triângulo equilátero cujo lado é a.

por carlex28 Seg 14 maio 2012, 12:39

Assim que eu tiver o gabarito eu posto.
Desde já agradeço

por carlex28 Seg 14 maio 2012, 20:03

O gabarito é 3a elevado ao quadrado(7-4raiz de 3)

por **Jose Carlos** Ter 15 maio 2012, 15:23

Obrigado Carlex, vou rever meus cálculos.

por **ivomilton** Ter 15 maio 2012, 18:18

carlex28 escreveu:Encontre a área do quadrado inscrito no triângulo equilátero cujo lado é a.

Boa noite,

a = lado do triângulo equilátero
L = lado do quadrado
h = altura do triângulo equilátero
x = h - L

h = a√3/2
L = a√3/2 - x

x = a√3/2 - L

L/a = x/(a√3/2)
L/a = 2x/a√3

L*a√3 = a*2x → simplificamos, dividindo tudo por "a":
L√3 = 2x → substituímos "x" por "a√3/2 - L" e fica:

L√3 = 2(a√3/2 - L)
L√3 = a√3 - 2L
L(√3 + 2) = a√3

L = a√3/(√3 + 2) → racionalizando o denominador, vem:
L = a√3(√3-2) / (√3+2)(√3-2) = (3a - 2a√3)/(3-4) → multiplicamos por (-1) para evitar denominador negativo:
L = (2a√3 - 3a)/(4-3) = 2a√3 - 3a = a(2√3 - 3)

Portanto, a área do quadrado solicitado é:
L² = [a(2√3 - 3)]²
L² = a²(2√3 - 3)²
L² = a²(12 - 12√3 + 9)
L² = a²(21 - 12√3)
L² = 3a²(7 - 4√3)

Um abraço.