PUC CAMPINAS - Raízes do polinômio

Considerando-se que algumas das raízes reais do polinômio f =x^5 - x^4 -3x³+3x²-4x+4 pertencem ao conjunto {-2; -1; 0; 1} é correto afirmar que esse polinômio admite:

Resp:três raízes reais e duas não reais.

Já me deparei com mais de um exercício desse tipo e não vejo como saber a natureza das raízes assim :/
Tenho um do ITA parecidíssimo, porém o polinômio tem grau 6... como resolvê-los?!

:!:

Vamos lá, Gabriela. O problema diz que há alguma ou mais de uma raiz escrito naquele conjunto. O que acontece é que 0 já não é raiz desse polinômio pois temos um coeficiente independente.
Agora, para sabermos que o resto é ou não raiz, só tentando.
Aliás, dá para sabermos que -2, -1 e 1 são raízes porque esses são múltiplos de 4 (coeficiente independente) divididos por múltiplos de 1 (coeficiente de maior grau). (Isso faz parte de um teorema. Não sei o nome ao certo, mas eu o apresentei com maiores detalhes nesse tópico: https://pir2.forumeiros.com/t26636-demonstre-o-plinomio)

Tentando, temos que:
Para -2: (-2)^5 - (-2)^4 - 3(-2)^3 + 3(-2)^2 - 4(-2) + 4 = - 32 - 16 + 24 + 12 + 8 + 4 = - 48 + 36 + 12 = - 12 + 12 = 0
Para -1: (-1)^5 - (-1)^4 - 3(-1)^3 + 3(-1)^2 - 4(-1) + 4 = - 1 - 1 + 3 + 3 + 4 + 4 = - 2 + 6 + 8 = 4 + 8 = 12
Para 1: (1)^5 - (1)^4 - 3(1)^3 + 3(1)^2 - 4(1) + 4 = 1 - 1 - 3 + 3 - 4 + 4 = 0

Desse conjunto, nós temos então duas raízes. Só que há outro divisor de quatro divido por um que a gente ainda não testou. O 2.
Para 2: (2)^5 - (2)^4 - 3(2)^3 + 3(2)^2 - 4(2) + 4 = 32 - 16 - 24 + 12 - 8 + 4 = 16 - 12 - 4 = 4 - 4 = 0

Então nós temos três raízes reais. Como as imaginários só vem em pares quando todos os coeficientes reais, isso então se concretiza aqui.

Logo, esse polinômio tem três raízes reais e duas não reais.

Espero ter ajudado. ^_^

huuum, ajudou sim! então é só por tentativa mesmo né...
vou sofrer no do ita de grau seis então! haha
Muito obrigada!