demonstre o plinômio

Mostre que o polinomio p(x)= possui ao menos duas raizes reais.

Marcela, movi sua dúvida para o tópico correto, que é Álgebra. Vou responder a sua dúvida logo mais.

O polinômio é p(x) = x^4 + 5x³ - 7
Esse polinômio contém todos os seus coeficientes reais, então, é possível que haja raízes reais específicas e, se tiver raízes complexas, essas raízes virão em pares, ou seja, haverá a raiz complexa e sua conjugada também será raiz. Ou seja, se este polinômio não tiver nenhuma raiz real, ela terá dois pares de números complexos. O que a gente quer provar aqui é que há pelo menos duas raízes reais, ou seja, que, se tiver uma raiz complexa, que haja apenas um par no máximo.

Agora, já que todos os coeficientes são reais, nós temos alguns números que chamamos de candidatos racionais a serem raízes desse polinômio. Esses candidatos são apresentados na forma p / q sendo que p são os divisores do coeficiente independente e q são os divisores do coeficiente de maior grau. Vamos conferir então quais são esses candidatos:
Divisores de - 7: - 7, - 1, 1 e 7.
Divisores de 1: - 1 e 1.
Então os candidatos são - 7, - 1, 1 e 7. Vamos testar e ver se há raízes reais.

p(- 7) = (- 7)^4 + 5(- 7)³ - 7 = 49 * 49 - 35 * 49 - 7 = (Estou fazendo por fatoração para deixar tudo mais fácil.) = 14 * 49 - 7 (Isso claramente não é zero.)
p(- 1) = (- 1)^4 + 5(- 1)³ - 7 = 1 - 5 - 7 = - 11
p(1) = (1)^4 +5(1)³ - 7 = 6 - 7 = - 1
p(7) = (7)^4 + 5(7)^3 - 7 = 49 * 49 + 35 * 49 - 7 = 84 * 49 - 7

Olha, Marcela, não consegui descobrir nenhuma raiz real. Vou deixar a resposta aqui e conferir meu erro. Mas, por favor, verifique se a questão está certa, por favor...

Bem conferi aqui e é isso mesmo.

Marcela

Sua equação NÃO tem raízes reais, logo EXISTE algum erro no enunciado.
De onde você tirou esta equação? De algum livro? De algum concurso?
Você pode escanear a questão e postar aqui?

Não sei achar essas raízes (bem que tentei) mas plotei a função no Winplot e obtive o gráfico abaixo



onde percebe-se existir duas raízes reais:
x' = -5,054 217...
x'' = 1,049 828...

Marcela utilize o Teorema do valor intermediario. Tente perceber que entre -6 e -4 e entre 0 e 2 há valores reais que satisfazem a equação polinomial.
Dê uma olhada no que diz este teorema. Com isso você conseguirá provar o que se pede. Qualquer coisa comente.

Até mais