Retas em mesmo ponto

por Luís Qui 10 maio 2012, 20:04

(Fuvest) São dadas as retas de equações:
x + y = 1
mx + y = 2
x + my = 3
Determine m para que elas passem pelo mesmo ponto.

Resposta: 4

por **Jose Carlos** Qui 10 maio 2012, 23:38

x + y = 1 -> y = - x + 1 (I)

mx + y = 2 -> y = - mx + 2 (II)

x + my = 3 -> y = ( - 1/m )x + ( 3/m ) (III)

(I) com (II):

- x + 1 = - mx + 2 -> x = [ 1/( m - 1 ) ]

(I) com (III):

- x + 1 = ( - 1/m )x + ( 3/m )

(II) com (III):

- mx + 2 = ( - 1/m)x + ( 3/m )

- m² x + 2m = - x + 3

- m² x + x = 3 - 2m

x*( 1 - m² ) = 3 - 2m

x = ( 3 - 2m )/( 1 - m² )

para que as retas passem pelo mesmo ponto:

[ 1/( m - 1 ) ] = [ ( 3 - m )/( 1 - m ) ]

m² - 5m + 4 = 0

raízes m = 4 ou m = 1

para m = 4:

x = 1/( 4 - 1 ) = 1/3

x = ( 3 - 4 )/( 1 - 4 ) = - 1/- 3 = 1/3

x = ( 3 - 8 )/( 1 - 16 ) = - 5/-15 = 1/3

para m = 1:

x = 1/( 1 - 1 ) -> m = 1 não convém.

por Luís Sex 11 maio 2012, 11:45

Muito obrigado por sua prestimosa ajuda, José Carlos! Que Deus lhe pague com saúde, amor e sucesso! Very Happy

por gigizerbato Sáb 27 Jun 2015, 10:34

Tem como resolver somente por sistema?

Cheguei a m=3mx+1/mx+1 mas não consegui continuar.

por Convidado Sáb 27 Jun 2015, 11:46

Olá, gigi. Veja:

Outra forma de resolver:

x+y=1 => y=1-x (I)

mx+y-2=0 => mx+y=-2 (II)

Subs. I em II, vem:

mx+1-x=2 => mx=2+x-1 (III)

Agora, partindo para a outra equação:

x+my-3=0 => x+my=3 (IV)

Subs. I em IV, vem:

x+m.(1-x)=3 => x+m-mx=3 (V)

Agora, subs. III em V, vem:

x+m-2-x+1=3 => m-1=3 => m=4

por gigizerbato Sáb 27 Jun 2015, 12:03

Obrigada Gabriel.

Encontrei outra forma de resolver:

Somei a equação II com a III, isolei o m e ficou:

m(x+y)+(x+y)=5

Substituindo x+y por 1 encontramos m=4