Retas que passam por um mesmo ponto

Elon Lages GAAL - 7.15. Mostre que, para quaisquer valores de [latex]s[/latex] e [latex]t[/latex], as retas [latex](2s+3t)x+(2s-2t)y=5s+4t[/latex] passam pelo mesmo ponto. Mostre também que toda reta que massa por esse ponto é representada por uma equação da forma acima, para uma escolha conveniente de [latex]s[/latex] e [latex]t[/latex].

Uma forma de fazer é a seguinte.
Façamos antes 2s + 3t = 0 => s = -3t/2 -> 2s - 2t = -3t - 2t = -5t e 5s + 4t = -15t/2 + 4t = -7t/2:
-5ty = -7t/2 => y = 7/10.
Por outro lado, façamos 2s - 2t = 0 => s = t => 2s + 3t = 5t e 5s + 4t = 9t:
5tx = 9t => x = 9/5
Agora provemos que toda reta daquela forma passa por (9/5,7/10). Basta tacar esses valores em x e y e ver se dá na expressão a que se iguala:
(2s + 3t)(9/5) + (2s - 2t)7/10 = 18s/5 + 27t/5 + 7s/5 - 7t/5 = 25s/5 + 20t/5 = 5s + 4t, exatamente ao que se iguala, então todas as retas passam pelo ponto (9/5, 7/10).

Mostramos "reta é daquela forma" => "passa pelo ponto", agora vamos mostrar a volta:
Seja ax + by = c, tal que 9a/5 + 7b/10 = c => 18a + 7b = 10c. Devem existir s e t que resolvam o sistema:
2s + 3t = A
2s - 2t = B
(determinante não nulo)
=> 18(2s+3t) + 7(2s - 2t) = 36s + 54t + 14s - 14t = 50s + 40t = 10(5s + 4t), então C = 5s + 4t, como queríamos demonstrar.