Número complexo

por hector Ter 08 maio 2012, 12:05

Ache o conjugado do número complexo z², em que z = a(cos α + isen α) com
a=2 e α= pi/2

Gabarito: 2√2 - 2√2i

por **Elcioschin** Ter 08 maio 2012, 12:49

Ou o enunciado tem erros ou o gabarito está errado:

z = a[cosα + isenα]

z = 2[cos(pi/2) + isen(pi/2)

z = 2*(0 + i*1) ----> z = 2i

z² = (2i)² ----> z² = -4

Conjugado de z² = - 4

por hector Ter 08 maio 2012, 13:19

Elcioschin, a apostila em que vi está meio dificil de ver os números, então esrevi errado. O correto é α= pi/8. Desculpe

por **Elcioschin** Ter 08 maio 2012, 14:41

z = a[cosα + isenα]

z = 2[cos(pi/8 ) + isen(pi/8 )]

z² = 2²*[cos2*pi/8 ) + isen(2pi/8 )]

z² = 4*[cos(pi/4) + isen(pi/4)]

z² = 4*(\/2/2 + i*\/2/2)

z² = 2*\/2 + i*2\/2

z² conjugado = 2*\/2 - i*2*\/2

por **JOAO [ITA]** Ter 08 maio 2012, 14:57

Por curiosidade a demonstração da identidade de potenciação de complexos vem a seguir:

Perceba que se temos um número complexo z, tal que:

$z=a+b.i=|z|.(cos(arg\,z)+i.sen(arg\,z))=|z|.e^{i.(arg\,z)}$

Logo podemos retirar a seguinte informação:

$z^n=(|z|.e^{i.(arg\,z)})^n=|z|^n.e^{n.i.(arg\,z)}=|z|^n.cis(n.(arg\,z))\\ \\ =|z|^n.(cos(n.(arg\,z))+i.sen(n.(arg\,z)))$

Que é conhecida por "Lei de De Moivre".

OBS: Você pode ver a demonstração da igualdade $|z|.(cos(arg\,z)+i.sen(arg\,z))=|z|.e^{i.(arg\,z)}$ por séries de Taylor clicando aqui (inclusive feita pelo próprio Elcio).

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