Equação da reta tangente... !?

por **alissonsep** Ter 01 maio 2012, 20:40

Ache a equação da reta tagente à curva y= 2x² + 3 que é paralela à reta 8x-y+3=0

Gabarito:

8x-y-5=0

Tenei derivar por $f(x)=\frac{f(x_1+\Delta x)-f(x_1)}{\Delta x}$ , mas não deu !

Agradeço desde já a quem poder ajudar.

por **Euclides** Ter 01 maio 2012, 20:48

$8x-y+3=0\to y=8x+3$

a reta que você procura tem equação $y=8x+b$ e um único ponto em comum com $y=2x^2+3$

resolva o sistema impondo $\Delta =0$

por **alissonsep** Ter 01 maio 2012, 21:16

Como assim Mestre impor ∆=0 ?

O sistema a que o Shr se refere é este:

$\left\{\begin{matrix} 2x^2+3=y & \\ 8x+b=y& \end{matrix}\right.$

Perdoe minha falta de compreensão Mestre Euclides.

por **Euclides** Ter 01 maio 2012, 21:56

Delta igual a zero para que haja um único ponto (tangência)

$\\2x^2+3=8x+b\;\;\to\;2x^2-8x+(3-b)=0\\\\\Delta=64-8(3-b)\\64-24+8b=0\\b=-5\\\\y=8x-5$

por **alissonsep** Ter 01 maio 2012, 22:09

Mestre pensei da seguinte forma:

Como a reta tagente à curva y= 2x² + 3 é paralela à reta 8x-y+3=0 deve ter a mesma inclinação que 8x-y+3=0, assim:

y=8x+3, ou seja, tem inclinação m= 8. Assim a reta tangente a curva
y= 2x² + 3 deve ter um ponto P (x1, y1) em comum com à curva y= 2x²+3.

Ainda, m(x1)= 8. Então essa inclinação é a da reta tangente à curva
y= 2x² + 3 e como esta tem um ponto x1 em comum com a sua tangente podemos derivar y=2(x1)² + 3 que é m(x1) = f'(x) = 4(x1). Como m(x1)=8, fiz:

8=4(x1) --> x1=2

para y1, temos: y1= 2(x1)² + 3 ---> y1=2.(2)²+3 ---> y1= 11

P(x1, y1) = P(2, 11)

y-y1 = m(x-x1) --> y-11 = 8(x-2) ---> y-11 = 8x-16 ---> 8x-y+11-16=0 --->

8x-y-5=0

Esse tipo de raciocínio é válido Mestre ???