Inequação Trigonométrica.

Entre que ângulos do primeiro quadrante x deve variar para que seja satisfeita a desigualdade 4.sen² x - 2(1+ \/2). sen x + \/2 < 0 ?

a) ∏/4 < x < ∏/2
b) ∏/3 < x < ∏/2
c) ∏/6 < x < ∏/4
d) ∏/4 < x < ∏/3
e) ∏/6 < x < ∏/3

GABARITO: Letra C.

colocando a inequação numa linha só:

4.sen² x - 2(1+ \/2). sen x + \/2 < 0

4*sen² x - 2(1+ \/2)*sen x + \/2 < 0

Temos uma função do 2º grau ----> Parábola com a concavidade voltada para cima
Sejam sen'x e sen"x as raízes desta função,
Para esta função ser negativa devemos ter sen'x < senx < sen"x

Discriminante ----> D = b² - 4ac ----> D = [2*(1 + \/2)]² - 4*4*\/2 ----> 12 - 8*\/2 ----> D = 12 - \/128

Para calcular \/D temos um radical duplo com A = 12 e B = 128 ----> A² - B = 16 ----> \/(A² - B) = 4

Raízes -----> m = (12 - 4)/2 ----> m = 4 ----> \/m = 2 ---> n = (12 + 4)/2 ---- n = 8 ----> \/n = 2*\/2

Logo temos ----> \/D = \/(12 - \/128) = 2*\/2 - 2

Raizes da função original:

sen'x = [(2 + 2*\/2) - (2*\/2 - 2)/2*8 ----> sen'x = 1/2

sen"x = [(2 + 2*\/2) + (2*\/2 - 2)]/2*4 ----> sen"x = \/2/2

1/2 < senx < \/2/2 -----> sen(pi/6) < senx < sen(pi/4) ------> pi/6 < x < pi/4 ----> Alternativa C

po legal... tinha me deparado com esse radical duplo e não sabia resolver.
obrigado!

Elcioshin como eu provo isso que para essa funçao vai ser sempre negativa o Sr. disse :"Para esta função ser negativa devemos ter sen'x < senx < sen"x " nao entendi isso :scratch: , pq se termo "a" da funçao fosse negativo bastaria eu fazer Delta < 0 nao é isso? mas nao entendi o que fazer para que essa funçao seja negativa sendo ela com a concavidade pra cima,o Sr. pode me explicar isso?

Bruna

A função original é uma função do 2º grau, na variável senx. Ela tem duas raízes: sen'x e sen"x.

Desenhada num sistema cartesiano ela é uma parábola com a concavidade voltada para cima.

Faça um desenho de um sistema xOy e desenhe uma parábola que corte o eixo das abcissas em dois pontos.

As raízes são os pontos onde a parábola corta o eixo das abcissas. Abaixo deste eixo eixo a função é negativa.

E, tudo que está abaixo deste eixo tem abcissas ENTRE as raízes: sen'x < senx < sen"x

Ah sim entendi, muito obrigado