divisores de um número

Em uma fila há menos de 100 pessoas. Quando as contamos de 7 em 7, sobra 1 pessoa; quando as contamos de 6 em 6, sobram 3; e quando as contamos de 5 em 5, sobram 2. Quantas pessoas há nesa fila?


Resposta: 57 pessoas

Fafa escreveu:Em uma fila há menos de 100 pessoas. Quando as contamos de 7 em 7, sobra 1 pessoa; quando as contamos de 6 em 6, sobram 3; e quando as contamos de 5 em 5, sobram 2. Quantas pessoas há nesa fila?

Resposta: 57 pessoas

Boa tarde,

N = número de pessoas na fila

N = 7x + 1
N = 6y + 3
N = 5z + 2

Igualemos os coeficientes das incógnitas x, y e z, lembrando que mmc(7,6,5)=210:
210/7 = 30; 210/6 = 35; 210/5 = 42.
Portanto fica:
30.N = 210.x + 30
35.N = 210.y + 105
42.N = 210.z + 84
-------------------------------
107.N = 210.(x+y+z) + 219

Substituindo x+y+z por S (sua soma), fica:

107.N - 210.S = 219 → uma equação diofantina que passaremos a resolver.

N = (210.S + 219)/107 = S + 2 + (103.S + 5)/107 → separamos os quocientes inteiros da fração restante.

Sendo N e S inteiros, também deverá sê-lo o quociente da fração final; então a faremos igual a "m":

(103.S + 5)/107 = m
103.S + 5 = 107.m

S = (107.m - 5)/103 = m + (4.m - 5)/103 → a seguir, faremos esta fração final igual a "n":

(4.m - 5)/103 = n
4.m - 5 = 103.n
4.m = 103.n + 5

m = (103.n + 5)/4 = 25n + 1 + (3.n + 1)/4 → prosseguindo, façamos a fração final igual a "p":

(3.n + 1)/4 = p
3.n + 1 = 4.p
3.n = 4.p - 1

n = (4.p - 1)/3 = p + (p - 1)/3 → continuando na mesma rotina, faremos a última fração igual a "q":

(p - 1)/3 = q
p - 1 = 3.q
p = 3.q + 1

A partir daqui, iremos retornando, aplicando o valor encontrado para "p" nas equações sublinhadas (na equação de "n", e assim iremos voltando até encontrar finalmente o valor de N):

n = (4.p - 1)/3 = [4.(3.q + 1) - 1]/3 = (12.q + 4 - 1)/3 = (12.q + 3)/3 → n = 4.q + 1

m = (103.n + 5)/4 = [103 .(4.q + 1) +5]/4 = (412.q + 103 + 5)/4 = (412.q + 108)/4 → m = 103.q + 27

S = (107.m - 5)/103 = [107.(103.q + 27) - 5]/103 = (11021.q + 2889 - 5)/103 = (11021.q + 2884)/103 → S = 107.q + 28

N = (210.S + 219)/107 = [210.(107.q + 28) + 219]/107 = (22470.q + 5880 + 219)/107 = (22470.q + 6099)/107 → N = 210.q + 57

Como "q" é um número inteiro e N<100, então "q" somente poderá ser igual a zero, pois se o fizermos igual a 1, iremos obter N>100 e se o fizermos igual a -1, teremos N<0.

Concluindo:
N = 210.0 + 57
N = 57





Um abraço.

Excelente Ivomilton: eu não faria melhor!

Elcioschin escreveu:Excelente Ivomilton: eu não faria melhor!

Boa noite, Elcio.

Pois é, aprendi contigo, o que significa que ser o amigo um ótimo professor...







Grande abraço.

Bom dia Ivomilton
Agradeço pela resolução mas, essa questão está em um livro do 6º ano (5ª série) e é proposta antes do capitulo do mmc. Teria um outro modo de resolver?

Abraços
Fafa

Fafa

Tem outro jeito sim: os números que atendem cada condição são:

:7 resto 1 ----> 8, 15, 22, 29, 36, 43, 50, 57, 64, 71, 78, 85, 92, 99

:6 resto 3 ----> 9, 15, 21, 27, 33, 39, 45, 51, 57, 63, 69, 75, 81, 87, 93, 99

:5 resto 2 ----> 7, 12, 17, 2, 27, 32, 37, 42, 47, 52, 57, 62, 67, 72, 77, 82, 87, 92, 97

Obrigada Elcioschin.