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Geometria Plana

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Mensagem por ALDRIN Sab 17 Out 2009, 18:53

Na figura, Geometria Plana Cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7 é um retângulo, Geometria Plana 3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da e Geometria Plana 800618943025315f869e4e1f09471012 são os pontos médios de Geometria Plana Eb5a7d379242033b1363b3a8f2b08df4 e Geometria Plana 0ebb3263600be14283905ab9a80b608c, Geometria Plana F33202b1e856702a0592a9402a2bb20d é paralelo a Geometria Plana 66ee34a69c2a4b1a6b040f2b7eeafca6, Geometria Plana Dd6be4e53f151e9e7b2921c99f19a18c é paralelo a Geometria Plana 1e3482e8095beb6527cad38f5bcbc7ac, Geometria Plana 87b492ff29456a7784ab8357349b8390 e Geometria Plana C4df68bfea7350ea4dc3e764204e5e88 são semicircunferências. Sendo Geometria Plana 7a2620d427b749c6ea2127174553d2fc e Geometria Plana 2b9910c8576d262718308bd13d37687b, calcule a área da região hachurada.


Geometria Plana Figura1o
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Geometria Plana Empty Re: Geometria Plana

Mensagem por Elcioschin Dom 18 Out 2009, 20:22

Pelos meus cálculos a área vale a própria área do retângulo = 60 cm²
Favor confirmar.
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Mensagem por ALDRIN Dom 18 Out 2009, 20:58

Elcioschin, de onde tirei não consta gabarito.

Abraço.
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Mensagem por Elcioschin Seg 19 Out 2009, 07:56

Aldrin

Vou então mostrar o meu raciocínio:


Tracemos a reta EF, a qual divide ao meio o retângulo.
A área hachurada à esquerda da reta EF corresponde à área ADFE (metade da área do retângulo).
Para visualizar isto basta descer a parte hachurada acima de AE até AE coincidir com DF.

Como os pontos G e H são quaisquer, podemos colocar G sobre EB e H sobre FC.
Neste caso a área achurada à direita de EF coincide com a outra metade da área do retângulo (área EFCB) .

Logo, a área total hachurada é igual à área do retângulo ABCD = 20*3 = 60 cm².

O que você acha?
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Mensagem por ALDRIN Seg 19 Out 2009, 13:04

Elcioschin,

eu creio que você esteja certo, mas como você teve essa visão, pois no olhômetro é bem difícil de enxergar isso?

Abraço.
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Mensagem por Elcioschin Seg 19 Out 2009, 16:23

Aldrin

Sempre que vejo um problema com o desenho de um ponto qualquer, não determinado, eu tento colocá-lo num ponto especial, de forma a facilitar os cálculos. Foi o caso dos pontos G e H, os quais desloquei mentalmente para cima das retas EB e FC, respectivamente.

Quanto ao lado esquerdo foi mais fácil visualizar: Se você recortar a parte hachurada sobre a reta AE e deslocá-la para baixo, ela se encaixará direitinho dentro do lado esquerdo do retângulo, deixando em baixo a mesma "meia-lua" branca que aparecia em cima. Logo a parte hachurada tem área igual à metade da área do retângulo.

A única explicação que eu tenho para esta minha facilidade de perceber no olhômetro, é a prática de muitos anos resolvendo problemas similares. Depois de muito esforço repetitivo a gente acaba ficando viciado.

Um abraço

Elcio
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Mensagem por ALDRIN Seg 19 Out 2009, 18:08

Elcioschin, valeu pelo bizu

o lado esquerdo eu entendi bem, logo na sua primeira resolução, mas o lado direito é que está meio sinistro de entender.

Abraço.
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Mensagem por Elcioschin Seg 19 Out 2009, 20:25

Aldrin

Vou tentar explicar o lado direito:

Suponha que os lados AB e CD do retângulo sejam horizontais (logo, EF e BC são verticais).
Note que, para EG ser paralela a FH e para BG ser paralela a a CH, os pontos G e H devem estar na mesma vertical.
O segmento de reta vertical GH pode estar situado em qualquer posição em relação às distâncias aos pontos B e E (ou C e F).
Esta posição da reta que contém GH é que eu chamo de posição QUALQUER.
O problema DEVE ser válido, portanto, para QUALQUER posição da reta que contém GH.
Ora, se vale para QUALQUER posição, ela vale, por exemplo, para a posição intermediária entre B e E (ou C e F).
Assim, vou ESCOLHER a posição da reta que contém GH: o seu prolongamento intercepta os pontos médios de BE e CF, que são os pontos M e N respectivamente.
Vamos agora fazer o seguinte:

Vamos elevar o ponto G até que ele coincida com M. Consequentemente o ponto H vai coincidir com N.
No limite, EG concide com EM e FH coincide com FN ----> EM e FN são parelelas (lados horizontais do retângulo)

O mesmo acontece com com BG e BH que coincidirão com BM e CN.

Nesta situação limite o hachurado do lado direito coincide com a metade do retângulo -----> BEFC

CQD
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