Geometria Plana

Na figura, é um retângulo, e são os pontos médios de e , é paralelo a , é paralelo a , e são semicircunferências. Sendo e , calcule a área da região hachurada.

Pelos meus cálculos a área vale a própria área do retângulo = 60 cm²
Favor confirmar.

Elcioschin, de onde tirei não consta gabarito.

Abraço.

Aldrin

Vou então mostrar o meu raciocínio:


Tracemos a reta EF, a qual divide ao meio o retângulo.
A área hachurada à esquerda da reta EF corresponde à área ADFE (metade da área do retângulo).
Para visualizar isto basta descer a parte hachurada acima de AE até AE coincidir com DF.

Como os pontos G e H são quaisquer, podemos colocar G sobre EB e H sobre FC.
Neste caso a área achurada à direita de EF coincide com a outra metade da área do retângulo (área EFCB) .

Logo, a área total hachurada é igual à área do retângulo ABCD = 20*3 = 60 cm².

O que você acha?

Elcioschin,

eu creio que você esteja certo, mas como você teve essa visão, pois no olhômetro é bem difícil de enxergar isso?

Abraço.

Aldrin

Sempre que vejo um problema com o desenho de um ponto qualquer, não determinado, eu tento colocá-lo num ponto especial, de forma a facilitar os cálculos. Foi o caso dos pontos G e H, os quais desloquei mentalmente para cima das retas EB e FC, respectivamente.

Quanto ao lado esquerdo foi mais fácil visualizar: Se você recortar a parte hachurada sobre a reta AE e deslocá-la para baixo, ela se encaixará direitinho dentro do lado esquerdo do retângulo, deixando em baixo a mesma "meia-lua" branca que aparecia em cima. Logo a parte hachurada tem área igual à metade da área do retângulo.

A única explicação que eu tenho para esta minha facilidade de perceber no olhômetro, é a prática de muitos anos resolvendo problemas similares. Depois de muito esforço repetitivo a gente acaba ficando viciado.

Um abraço

Elcio

Elcioschin, valeu pelo bizu

o lado esquerdo eu entendi bem, logo na sua primeira resolução, mas o lado direito é que está meio sinistro de entender.

Abraço.

Aldrin

Vou tentar explicar o lado direito:

Suponha que os lados AB e CD do retângulo sejam horizontais (logo, EF e BC são verticais).
Note que, para EG ser paralela a FH e para BG ser paralela a a CH, os pontos G e H devem estar na mesma vertical.
O segmento de reta vertical GH pode estar situado em qualquer posição em relação às distâncias aos pontos B e E (ou C e F).
Esta posição da reta que contém GH é que eu chamo de posição QUALQUER.
O problema DEVE ser válido, portanto, para QUALQUER posição da reta que contém GH.
Ora, se vale para QUALQUER posição, ela vale, por exemplo, para a posição intermediária entre B e E (ou C e F).
Assim, vou ESCOLHER a posição da reta que contém GH: o seu prolongamento intercepta os pontos médios de BE e CF, que são os pontos M e N respectivamente.
Vamos agora fazer o seguinte:

Vamos elevar o ponto G até que ele coincida com M. Consequentemente o ponto H vai coincidir com N.
No limite, EG concide com EM e FH coincide com FN ----> EM e FN são parelelas (lados horizontais do retângulo)

O mesmo acontece com com BG e BH que coincidirão com BM e CN.

Nesta situação limite o hachurado do lado direito coincide com a metade do retângulo -----> BEFC

CQD