Quantas soluções reais tem a equação

17-)Seja f (x)= x ² -3x + 4 . Quantas soluções reais tem a
equação f ( f ( f ( f (... f (x))))) =2 (onde f é aplicada 2001
vezes)?
Como fazer isso?

f(x)=x²-3x+4
chamemos x de f(f(f(f...(x))), em que f foi aplicada 2000 vezes.
Para que f(x)=2, x²-3x+4=2, x, será 1 ou 2, por bhaskara. assim, ou f(f(..x))=1 ou f(f...x)=2, em f é aplicada 2000 vezes. Chamando f(f(...x)) de x2, temos que x2²-3x2+4=1, ou x2²-3x2+4=2
Para o primeiro caso, x poderá ser (3+-V9-12)/2, o que nos levará a um número complexo. No segundo caso, bhaskara nos levará novamente aos resultados 1 e 2. observe então que um possível resultado para x com certeza é dois. pois a possibilidade de que f(...x) seja dois será vista até chegarmos em f(x)=2.outro resultado será 1, com certeza,pelo mesmo motivo. o outro caminho dos complexos nos levará a mais números complexos. Assim, as soluçoes reais serão duas.

Tem gabarito?

nao,esse é um exercício da lista do rumo ao Ita e la eles nao botaram o gabarito dessa questão

eu nao entendi muuito bem , mas me dÊ um exemplo se fosse f(f(f(f...(x))), 15 vezes como ficaria?

Eu agora estou em dúvida se o que eu fiz está bem certo.
Mas se formos fazer f aplicada 15 vezes, observamos que f aplicada 14 vezes será o x. chamemos f aplicada 14 vezes de a. a²-3a+4=2
a²-3a+2=0 Soma das raízes=-b/a=3, produto das raízes=c/a=2, logo a pode ser 1 ou 2. Mas a é f aplicada 14 vezes, então:
ou f(f(f...x)) [APLICADA 14 VEZES]=1 ou f(f...x) [APLICADA 14 VEZES]=2
Observemos que o x desta vez é f aplicada de 13 vezes. então chamando f aplicada aplicada de 13 vezes de b, temos que:
ou b²-3b+4=2 ou b²-3b+4=1
A primeira equação é idêntica àquela em a. então, sabemos que as raízes serão 1 e 2. para a segunda equação, as raízes serão complexas. Então f aplicada de 13 vezes será 2 ou 1. Já passamos por situação semelhante na resolução desse problema, e percebemos que ou f aplicada 12 vezes é 1 ou 2, se f aplicada de 13 vezes for =2. Caso contrário f aplicada 12 vezes é complexo. Então , já dá pra ver que não é necessário aplicar a função as 15 vezes, pois no final encontraremos f(x)=2 ou f(x)=1
f(x)=1 nos levará a complexos, então f(x)=2, o que significa que x =2 ou x=1. Assim, há duas raízes reais. Eu ainda tenho uma certa dúvida nesse exercício, mas se alguém quiser tentar fazer aqui também, ajudaria a ter certeza de como fazer o exercício.