Razão entre volumes

por Violeiro Qua 28 Mar 2012, 21:35

Uma esfera está inscrita num cubo de aresta a.
Outra esfera está circunscrita ao mesmo cubo.
A razão entre o volume da esfera inscrita e o voluma da esfera circunscrita é:

Alternativas do gabarito:

$\dpi{100} a)\ \frac{\sqrt{3}}{5}$

$\dpi{100} b)\ \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\dpi{100} c)\ \sqrt{3}$

$\dpi{100} d)\ \frac{\sqrt{3}}{9}$

$\dpi{100} e)\ \frac{\sqrt{3}}{2}$

cheers

:face:

por **Agente Esteves** Qua 28 Mar 2012, 21:42

A esfera que está circunscrita tem diâmetro igual à diagonal do cubo.
A esfera que está inscrita tem diâmetro igual à aresta do cubo.

Sendo a o valor da aresta e D o valor da diagonal, temos que:
a² + a² = d² (essa é a diagonal da face)
d² = 2a²
Só que...
D² = d² + a² = 2a² + a²
D² = 3a² -> D = aV3 (a diagonal é a aresta multiplicada por V3)

Então temos que a razão entre seus volumes (inscrita primeiro) é de:
(4∏r³/3) / (4∏r³/3) = 4∏a³ / 3 * 3 / 4∏a³V27 = 1 / V27 = V27 / 27 = 3V3 / 27 = V3 / 9
Letra D.

Espero ter ajudado. ^_^

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