termodinamica

(UFG/2010)Deseja-se acoplar um eixo cilíndrico a uma roda com umorifício circular. Entretanto, como a área da seção transversal do eixo é2,0% maior que a do orifício, decide-se resfriar o eixo e aquecer a roda.O eixo e a roda estão inicialmente à temperatura de 30ºC. Resfriando-seo eixo para –20ºC, calcule o acréscimo mínimo de temperatura da rodapara que seja possível fazer o acoplamento. O eixo e a roda são de alu-mínio, que tem coeficiente de dilatação superficial de 5,0.10–5ºC –1

Sejam D e d os diâmetros do eixo e do orifício a 30 ºC

V = pi*D²/4
v = pi*d²

V = 1,02*v ----> pi*D²/4 = 1,02*(pi*d²/4) ----> D² = 1,02*d² ----> D ~= 1,01*d ----> I

D' = D*y*[30 - (-20)] ----> D' = D*y*50 ----> II

d' = d*y*(T - 30) ----> III

d' = D' ----> d*y*(T - 30) = D*y*50 ----> d*y*(T - 30) = 1,01*d*y*50 ----> T - 30 = 50,5 ----> T = 80,5 ºC

Elcio, como o enunciado já diz q a área do eixo é 2% maior que a área do orifício, podemos fazer
1,02Ao [1+5.10^-5.(30+20)]=Ao [1+5.10^-5 (T-30)]
1,02 +255.10^-5 -1= 5.10^-5 (T-30)
2000.10^-5 + 255.10^-5= 5.10^-5 (T-30)
451=(T-30) e essa seria a resposta porque, no caso, o enunciado pede o acréscimo de temperatura, que seria a variação.
Mas o meu gabarito consta como 349 graus Celsius. Chega-se a esse resultado se fizermos
1,02 [1- 5.10^-5 (50)]=1+5.10^-5 (T-30)
Considerando q a equação para o eixo seria - e não + como aparece na fórmula. A [1+ß (t-t')]
O meu livro é o Tópicos de Física, alguém poderia dizer se eu fiz alguma conta errada ou se é o gabarito q está errado mesmo?

No 1º membro da sua equação a variação de temperatura deveria ser negativa, pois o eixo está diminuindo sua seção transversal:

∆T = Tf - Ti ---> ∆T = - 20 - 30 ---> ∆T = - 50

Além disso, 5.(-50) = - 250 (e não 255)

ah, certo, entendi. O 255 é porque 5(-50) está multiplicado pelo 1,02; o que no caso ficaria -255.
Obrigada!