Calcule a velocidade da corrente

por Paulo Sáb 25 Fev - 23:09

Sobre uma mesa perfeitamente lisa estava situada uma corrente de comprimento 2ℓ e massa m, inicialmente com um dos extremos fixado na própria mesa. No centro da mesa, existe uma abertura pela qual foi introduzida uma parte da
citada corrente, referente ao extremo livre. Repentinamente, o extremo fixo foi liberado e a corrente começou a mover-se sob a ação do peso da parte da corrente que ficou dependurada. Calcule a velocidade da corrente no momento em
que o comprimento da parte pendurada da corrente é x (com x < ℓ), onde g é a aceleração da gravidade.

RES : ((g*x^2)/2l)^1/2

por **Euclides** Dom 26 Fev - 0:31

A força que faz a corrente descer é variável, dependendo do comprimento da parte pendurada.

A densidade linear da corrente é

$\mu=\frac{m}{2l}$

o peso da parte pendente é $P=\mu ag$ , sendo a a parte pendente.

O trabalho dessa força variável corresponderá à energia cinética adquirida pela corrente desde o repouso:
$\\\int_{0}^{x} \mu ag da=\frac{1}{2}mv^2\;\;\to\;\;\mu g\int_{0}^{x} ada=\frac{1}{2}mv^2\\\\\frac{1}{2}\mu gx^2=\frac{1}{2}mv^2\;\;\to\;\;\frac{mgx^2}{2l}=mv^2\;\;\to\;\;v=\sqrt{\frac{gx^2}{2l}}$

por Bruno V F L Amorim Sáb 20 Jun - 1:36

Questão extremamente sofisticada para um aluno do Ensino Médio. A discussão desse problema não é feita em nenhum livro convencional. E, mesmo em livros de Faculdade, aparece nos problemas propostos. É possível resolver pelo balanço de energia, dividindo a corda em dois pedaços e calculando as energias potenciais gravitacionais destes, admitindo que esses pedaços podem ser substituídos por um corpo fictício que tenha massa igual aos dos pedaços e posição na metade de cada pedaço. Uma outra abordagem é usar a Equação de Torricelli Generalizada. Para isso será necessário encontrar a aceleração em função de x (comprimento da parte pendente), por Lei de Newton. Para explicar tudo isso escrevendo aqui seria muito extenso. Só apresentei os caminhos teóricos que levam a solução.

Se quiserem assistir o desenvolvimento completo pelos dois métodos, o vídeo abaixo está disponível. Na solução considerei o comprimento da corda L em vez de 2L. Mas o raciocínio, por óbvio é igual. Só trocar no final, L por 2L.

Mais importante! Resolvi sem usar Cálculo Integral. Totalmente acessível para o aluno do Ensino Médio (que esteja disposto a um aprofundamento IME/ITA).