Calcular unidades de área?

Relembrando a primeira mensagem :

Olá Pessoal, Gostaria da ajuda de vocês, pois durante todo meu ensino médio nunca ouvi falar de Geometria Analitica, Fiz uma prova recentemente, e caiu a questão abaixo, como faço para resolver a mesma? pois não tenho a menor idéia de como fazer, e gostaria tbm que se pudessem, me endicassem algum material para estudo, Desde já agradeço!!!

Um agricultor recebeu como herança um sítio em formato retangular com
vértices A, B, C e D. Em sua representação no plano cartesiano, em que a
unidade em cada um dos eixos representa a unidade de comprimento sobre o
terreno, tem-se A(4,0), B(6,2), C(2,4) e D(0,2). Quantas unidades de
área possui o sítio que o agricultor herdou?

a) 12
b) 13
c) 14
d) 24

aquela matriz ali eu aprendi a fazer com meu professor , nao tenho como provar , mas da certo ^^
2 0 4 2
4 2 0 4

2.2 + 0.0 +4.4 -2.0 -4.2 -0.4 = 12 ^^

Olá christian, Olá rihan...

Agradeço a atenção dos 2...

A Questão está transcrita de forma correta...
O Gabarito Oficial da prova em questão foi divulgado...
E informa que resposta correta é A 12

christian esta matriz que vc fez, tem algum nome? formula? ou algo mais para mim pesquisar a respeito?

Desde já meu muito obrigado!!!

A área do triângulo ACD é a mesma do triângulo ABC. Vamos achar a do ACD e multiplicá-la por 2:

6.2=12cm²

Mas também fiz por meio da distância entre dois pontos.
E achei o mesmo que o rihan. Por que?

Porque a questão ESTÁ ERRADA !

O sítio NÃO É RETANGULAR !

É QUADRANGULAR.

É um PARALELOGRAMO, como demonstrado algebricamente no meu post anterior.

Evidenciado claramente se fosse feito o desenho...

Logo, se não houve erro na transcrição das coordenadas, a questão está formulada ERRADAMENTE, já que afirma:

"... um sítio em formato retangular ..."

Olá rihan muito obrigado pela atenção...

Então só para constatar, se o enunciado da questão fosse:

"... um sítio em formato quadrangular ..."

As soluções apresentadas por christian e Arkanus

estariam corretas?

Pessoal

Se o enunciado for o que foi postado na mensagem original, a questão da prova deveria ter sido CANCELADA. Vejam porque:

O enunciado fala em forma RETANGULAR conforme disse o rihan
Acontece que o terreno é um paralelogramo.
Assim o enunciado leva o aluno a calcular a área como se fosse de um retângulo.
Logo, questão CANCELADA

Natanlp

Esta fórmula do determinante é provada, em Geometria Analítica, no capítulo Área do Triângulo.

Sim, a solução do Arkanus e do christian/sua estão corretas ----> S = 12

Elcioschin escreveu:Pessoal

Se o enunciado for o que foi postado na mensagem original, a questão da prova deveria ter sido CANCELADA. Vejam porque:

O enunciado fala em forma RETANGULAR conforme disse o rihan
Acontece que o terreno é um paralelogramo.
Assim o enunciado leva o aluno a calcular a área como se fosse de um retângulo.
Logo, questão CANCELADA

Natanlp

Esta fórmula do determinante é provada, em Geometria Analítica, no capítulo Área do Triângulo.

Olá Elcioschin obrigado pelo esclarecimento!!!

Vou pedir a anulação da questão!!

Cuidado

Confirme primeiro se o enunciado QUE VC DIGITOU no fórum é idêntico ao enunciado DA PROVA !!!!!

Sim o enunciado digitado no forum é o mesmo da prova...

Quanto ao motivo da "fórmula" do christian:

Definição de Produto Vetorial:

Sejam u(u1; u2; u3) e v(v1; v2; v3) dois vetores quaisquer em R³, o PRODUTO VETORIAL entre eles resulta em um outro vetor p(x; y; z), tal que:

u x v ≡ p

p = x.i + y.j + z.k


Onde i(1; 0; 0), j(0; 1; 0) e k(0; 0; 1) são os vetores unitários nos eixos X, Y e Z respectivamente.

E as coordenadas x, y e z sendo:

x = u2.v3 - u3.v2

y = u3.v1 - u1.v3

z = u1.v2 - u2.v1

Resultando em:

u x v ≡ p = x.i + y.j + z.k

p = (u2.v3 - u3.v2)i + (u3.v1 - u1.v3)j + (u1.v2 - u2.v1)k

Que pode ser escrito também em forma de determinante:

p = deteminante da matriz:

i... j... k

u1 u2 u3

v1 v2 v3

Desta definição e de outras de vetores, tem-se:

| p | = |u x v| = |u|.|v|.sen(ângulo entre u e v)

Ou, mais simplificadamente:

|u x v| = u.v.sen(u,v)

A expressão:

u.v.sen(u,v)

Equivale a área de um paralelogramo de lados "u" e "v".

Logo, o módulo de |p| equivale a área do paralelogramo determinado pelos dois vetores u e v com suas origens coincidentes.



Como a metade da área deste paralelograma é equivalente a área do triângulo limitado pela diagonal traçada unindo-se as pontas de dos vetores, temos a fórmula para a área de um triângulo :

A = |u x v|/2

Quando em R², no plano e não no espaço, o determinante se simplifica e vira simplesmente:

Supondo u(u1; u2; 0) e v(v1; v2; 0)

u x v = p (x; y; z)

x = u2.v3 - u3.v2

y = u3.v1 - u1.v3

z = u1.v2 - u2.v1

Substituindo-se:

x = u2.0 - 0.v2 = 0

y = 0.v1 - u1.0 = 0

z = u1.v2 - u2.v1

u x v = p = (u1.v2 - u2.v1 ).k

Ou

p(0; 0; u1.v2 - u2.v1)

Isto é, um vetor perpendicular ao plano determinado por u e v, conforme a figura acima.

O Módulo de p é

|p| = √(u1.v2 - u2.v1 )²

Isto é:

|p| = | u1.v2 - u2.v1 |

Como a área do paralelogramo definido por u e v é equivalente ao módulo de u x v, |p|, podemos resolver o problema proposto, agora sabendo-se que o terreno NÃO É RETANGULAR e sim um PARELOLOGRAMO, de uma forma bem mais rápida, conhecendo-se um pouco de Álgebra Vetorial e Geometria Analítica:

C(2; 4)

D(0; 2)

A(4; 0)

u = C - D = (2-0; 4-2) = (2; 2)

v = A - D = (4-0; 0-2) = (4; -2)

|u x v| = |p| = | u1.v2 - u2.v1 |

|u x v| = | (2)(-2) - (2)(4) |

|u x v| = | -4 - 8 |

|u x v| = | -12 |

|u x v| = 12

Saudações retificadoras e ratificadoras !