(IME-89/90)

por Paulo Testoni Sáb 25 Jul 2009, 18:05

(IME-89/90) Seja P um ponto no interior de um triângulo ABC, dividindo-o em seis triângulos,
quatro dos quais têm áreas 40, 30, 35 e 84, como mostra a figura.
Calcule a área do triângulo ABC. R- 311
(IME-89/90) - calcular a área Rea2

por **adriano tavares** Dom 14 Nov 2010, 22:14

Olá, Paulo Testoni.

(IME-89/90) - calcular a área Geometriaplanaime

a --> área do triângulo PBT

b--> área do triângulo PHA.

Os triângulos ABS e ASC têm a mesma altura,então a razão entre suas áreas é igual a razão entre suas bases.

$\frac{84+40+a}{b+35+30}=\frac{BS}{SC}\Rightarrow \frac{124+a}{65+b}=\frac{BS}{SC}$ (i)

De maneira análoga para os triângulos PBS e PSC teremos:

$\frac{40}{30}=\frac{BS}{SC}\Rightarrow \frac{4}{3}=\frac{BS}{SC}$ (ii)

Igualando (i) e (ii) teremos:

$\frac{124+a}{65+b}=\frac{4}{3}\Rightarrow 372+3a=260+4b \Rightarrow 4b-3a=112$

Para os triângulos BAH e BHC teremos:

$\frac{105}{84+a+b}=\frac{35}{b}\Rightarrow 105b=2940+35b+35a \Rightarrow 2b-a=84$

Resolvendo esse sistema teremos $a=56$ e $b=70$

Logo, área do triângulo ABC é dada por:

$A_{\Delta ABC}=40+30+35+70+84+56 \Rightarrow A_{\Delrta ABC}=315$