ufmg 1995 feroz.

UFMG1995 - Sejam r e s as retas das equações y= 2x-1 e y= 2x + 3, respectivamente:
A) DETERMINE a equação da reta que passa pelo ponto (0,3) e é perpendicular a r.
B) DETERMINE a equação da circunferência que passa pelo ponto (0,3) e tangencia as retas r e s.

nao consigo fazer a b.

Como a duvida está apenas no item b irei resolver apenas esse:

Se a circunferência tangencia as duas retas, então a distância Centro-Reta vale o proprio raio:
r: 2x-y-1 = 0
s: 2x-y+3 = 0
Cordenadas do centro: (a,b)
Dp,r = |A*xp + B*yp+C|/sqrt(A²+B²)

Dc,r = |2*a -b-1|/sqrt(2²+1²) = |2a -b-1|/sqrt(5) (I)
Dc,s = |2*a -b+3|/sqrt(2²+1²) = |2a -b+3|/sqrt(5) (II)
como ambas são o raio:
Dc,s = Dc,r = R
|2a -b-1|/sqrt(5) = |2a -b+3|/sqrt(5)
|2a -b+3| = |2a -b-1|
Elevando tudo ao quadrado para eliminar o modulo( para facilitar as contas chamaremos 2a-b de k):
(2a -b+3)² = (2a -b-1)²
(k+3)² = (k-1)²
k² + 6k + 9 = k² -2k + 1
k =-1
2a-b = -1 (III)(Primeira relação entre as cordenadas do centro)

Substituindo III em I, decobrimos que o raio vale:
R =2/sqrt(5)

Agora fazendo a distância do ponto (0,3) até o centro (a,b):
Dp,c² = (Xp-Xc)² + (Yp - Yc)²
R² = (0-a)² + (b-3)² (IV)
entretanto, por (III) b = 2a+1
R² = a² + (2a-2)²
4/5 = a² + 4a² - 8a + 4
5a² -8a +16/5 = 0
D = 64 - 4*5*16/5 = 64 -64 = 0
a = 8/2*5 = 4/5 => b = 13/5 (Encontramos as coordenadas do centro)

Construindo a equação da circunferencia:
(x-a)² + (y-b)² = r²
(x-4/5)² + (y-13/5)² = 4/5

Cumprimentos, Victor M.

Fera haha vlw!

Um outra solução:

Observemos que as retas dadas são paralelas

r: y = 2x - 1
s: y = 2x + 3

pelo ponto (0,3) vamor passar uma reta perpendicular a ambas -> y = ( - 1/2 )x + 3

interseção com y = 2x + 3 -> ponto ( 0, 3)
interseção com y = 2x - 1 -> ponto ( 8/5 ; 11/5 )

distância entre os dois pontos -> d² = 80/25 => d² = 16/5 -> d = 4/\/5

raio da circunferência = 2/\/5

centro da circunferência -> ponto médio entre os pontos (0,3) e (8/5 ; 11/5 ) -> ( 4/5 ; 13/5 )