Teorema de Tales - par de classes contíguas - FME9

Boa tarde!

Estava vendo a demonstração do teorema de Tales para segmentos incomensuráveis no livro "Fundamentos de Matemática Elementar 9" e apareceu esse conceito que até então nunca havia lido ou ouvido falar, que são os "pares de classes contíguas". O que seria isso? Não estou conseguindo acompanhar a demonstração por causa disso. Já pesquisei na internet e nada encontro. 

obs1:demonstração na imagem
Obs2: Peço perdão se esse tema não for adequado para essa parte do forum. É que eu simplesmente não sei em qual lugar eu deveria escrever a respeito disso, por causa da minha ignorância.

Ele quer dizer que se você levar m e n para infinito os dois quocientes se tornam iguais. Pense que somar 1 em m não tem efeito nenhum no infinito, é desprezível, logo fica m/n = m/n.

Rory Gilmore escreveu:Ele quer dizer que se você levar m e n para infinito os dois quocientes se tornam iguais. Pense que somar 1 em m não tem efeito nenhum no infinito, é desprezível, logo fica m/n = m/n.

Boa tarde, Rory Gilmore

Ainda não consigo imaginar adequadamente o infinito. Onde, na matemática, encontro essa noção de levar uma certa quantidade ao infinito?

Akkon escreveu:Boa tarde, Rory Gilmore

Ainda não consigo imaginar adequadamente o infinito. Onde, na matemática, encontro essa noção de levar uma certa quantidade ao infinito?

Vou me intrometer rs. Acredito que o autor se referia a um par de intervalos contíguos. Existem os valores antes de m/n (classe 1) e os valores acima de (m+1)/n (classe 2). A demonstração informa que você está com um certo real entre esse par de classes, que é o intervalo de medida 1/n (é só subtrair). A ideia é que você aumente esse n com a intenção de reduzir o espaço entre as classes pra só um ponto, definindo o  número real.
Atualmente, isso é basicamente a ideia de tomar algo infinitesimal bastante discutida em Cálculo. Mas a ideia de fechar um valor entre dois outros, depois aproximar o menor do maior, fixando o intermediário é bastante antiga. Uma utilização é a de Arquimedes para calcular o valor de pi. Sei que posso limitar um círculo por dois polígonos de lado n (um por fora e outro inscrito). Então, p3 < círculo < P3. Sei também que aumentando o número de lados vou diminuindo a área possível do círculo: p3 < p4 < ... < círculo < ... < P4 < P3, definindo a área do círculo. Acredito que isso esteja descrito em algum capítulo desse livro.