polinômios

(FGV - SP) O polinômio p(x) = ax^3 +bx^2 +cx +2 satisfaz as condições p(-1) = 0 e p(x) - p(-x) = x^3, qualquer que seja x real. Então:
a) p(1)= -1
b) p(1) = 0
c) p(2) = 0
d) p(2) = -8
e p(2) = 12

Gab: C

P(x) = a.x³ + b.x² + c.x + 2

P(-1) = 0 ---> 0 = a.(-1)³ + b.(-1)² + c.(-1) + 2 ---> b - a - c + 2 = 0 ---> I

P(-x) = a.(-x)³ + b.(-x)² + c.(-x) + 2 ---> P(-x) = - a.x² + b.x² - c.x + 2 ---> II

P(x) - P(-x) = x³ ---> (a.x³ + b.x² + c.x + 2) - (- a.x³ + b.x² - c.x + 2) = x³ --->

2.a.x³ + 2.c.x  = 1.x³ ---> Igualando termo a termo:

2.a = 1 ---> a = 1/2 ---> III
2.c = 0 ---> c = 0 ---> IV

III e IV em I ---> b - 1/2 - 0 + 2 = 0 ---> b = - 3/2

P(x) = (1/2).x³ - (3/2).x² + 2 ---> P(2) = (1/2).2³ - (3/2).2² + 2 ---> P(2) = 0 ---> c)

Postei pois já tinha digitado  .
Boa noite, vamos utilizar os dados do enunciado.
[latex] p(-1)=0 \rightarrow -a +b-c+2=0 \: (I) [/latex]
[latex] p(x) - p(-x) = x^3 \rightarrow (ax^3+bx^2+cx+2) - (-ax^3+bx^2-cx+2)=x^3 [/latex]
[latex] 2ax^3+2cx=x^3 [/latex]
Pela igualdade de polinômios:
[latex] 2c=0 \therefore c = 0 [/latex]
[latex] 2a=1 \therefore a = \frac{1}{2} [/latex]
Encontrando b a partir de (I):
[latex] -a +b-c+2=0 \therefore b = -2 +\frac{1}{2}=-\frac{3}{2} [/latex]
Portanto, agora temos o polinômio:
[latex] p(x) = \frac{x^3}{2} - \frac{3x^2}{2}+2 [/latex]
Encontrando p(1) e p(2):
[latex] p(1) = \frac{1}{2} - \frac{3}{2}+2=1  [/latex]

[latex] p(2) = \frac{8}{2} - \frac{3.4}{2}+2 =0 [/latex]