Estatística AFA 2024/2025

Numa esquadrilha 20 cadetes ficaram em prova final na disciplina de cálculo. Essa prova tem seu valor variando de 0 a 100 pontos, na qual o cadete, para ser aprovado, precisa tirar 70 ou mais pontos. Após a realização do exame, verificou-se que 8 cadetes foram reprovados, sendo a média aritmética desses alunos 65 pontos. Os demais foram aprovados com média aritmética de 77 pontos. Após a divulgação dos resultados, foi impetrado um recurso e, consequentemente, uma questão que todos os cadetes erraram, foi anulada, gerando, assim, um acréscimo de 5 pontos a todos os cadetes. Com essa decisão, a nota média dos aprovados passou a ser de 68,8 pontos. Então, quantos cadetes, que inicialmente estariam reprovados, atingiram a nota mínima de aprovação após a anulação da questão?
Resposta: 3

Vou corrigir seu enunciado. Deve se ler:
Com essa decisão, a nota média dos aprovados passou a ser 80 pontos e a nova média dos reprovados passou a ser de 68,8 pontos. 

Existem três intervalos a considerar.
A: dos cadetes com nota de 70 acima
B: dos cadetes com nota abaixo de 65
X: dos cadetes de 65 acima e abaixo de 70
É claro que A + B + X = 20 e B + X = 8 => A = 12

Digamos que as notas dos cadetes de B somem um valor Sb (analogamente para o resto). Deve seguir que (Sb + Sx)/8 = 65 => Sb + Sx = 520. Também, Sa/12 = 77 => Sa = 924.

Depois disso, Todos eles ganham 5 pontos, então:
Sb -> Sb + 5b
Sx -> Sx + 5x
Sa -> 924 + 60 = 984

Todos os cadetes de x antes reprovados agora estão aprovados, então:
(984 + Sx + 5x)/(12 + x) = 80 <=> 984 + Sx + 5x = 960 + 80x <=> Sx = 75x - 24
Eu sei que deve valer 65 <= Nota de x < 70, então 65x <= Sx < 70x <=> 65x <= 75x - 24 < 70x
Do primeiro intervalo, 65x <= 75x - 24 <=> 24 <= 10x <=> 2.4 <= x, logo 3 <= x
Do segundo, 75x - 24 < 70x <=> 5x < 24 <=> x < 4.8 => x <= 4. Então, x = 3 ou 4

Se for x = 3, b = 5, Sb = 520 - 201 = 319 -> Sb' = Sb + 5b = 319 + 25 = 344 e a média dos reprovados é de 344/5 = 68.8 (então é mesmo x = 3)

Se fosse x = 4, b = 4, Sb = 520 - 276 = 224 -> Sb' = 244 e a média é de 244/5 = 48.8 (não pode ser x = 4)