Determine a medida do raio da circunferência

por nascelisa Dom 26 maio 2024, 13:25

Determine a medida do raio da circunferência, situada no primeiro quadrante, que é tangente aos eixos coordenados e que é tangente à reta t : 3x + 4y − 12 = 0.

Possuo o gabarito da questão: raio = 1

Estou tentando chegar a resolução correta desse exercício por duas formas, uma é usando o teorema de Pitágoras e equação do primeiro grau e a outra é pela distância do ponto central á reta. Em ambos tive uma certa dúvida, poderiam demostrar uma resolução/raciocínio correto dentro dessas formas? Se puderem citar outras formas de resolução ou de raciocínio lógico também agregará bastante ao meu pensamento matemático. Desde já, agradeço!

por **Leonardo Mariano** Dom 26 maio 2024, 13:55

Boa tarde. Para mim o raciocínio que vem em mente é o seguinte: A circunferência é tangente aos eixos coordenados e está no primeiro quadrante. De "tangente aos eixos coordenados" tiramos que o seu centro está a mesma distância do eixo x e do eixo y e, como está no primeiro quadrante, o seu centro será (R, R), com R sendo o seu raio.
Portanto, temos uma circunferência com centro em (R, R) cujo raio é R, que é tangente à reta dada, ou seja, a distância do centro até a reta deve ser R:
[latex] R = \frac{|3R + 4R - 12|}{\sqrt{3^2+4^2}} \rightarrow 5R = |7R - 12|
(I) R \geq \frac{12}{7}: \: 5R = 7R - 12 \rightarrow R = 6
(II) R < \frac{12}{7}: \:\: 5R = -7R + 12 \rightarrow R = 1 [/latex]
Logo, existem duas possibilidades, uma com raio 1 e outra com raio 6.

por **Giovana Martins** Dom 26 maio 2024, 14:03

Creio que por geometria plana você acaba perdendo uma solução, pois a circunferência de raio 6 também é solução do problema.

Pelo Teorema de Pitágoras:

Ainda que você não saiba qual é o raio da circunferência, faça um esboço da situação e você notará que você tem uma circunferência inscrita em um triângulo retângulo pitagórico (a,b,c) = (3,4,5).

Digo isto, pois:

Para x = 0, tem-se y = 3, tal que C(0,3). Por sua vez, para y = 0, tem-se x = 4, tal que D(4,0).

Deste modo, pelo Teorema de Poncelet:

\[\mathrm{r=\frac{a+b-c}{2}\to r=\frac{3+4-5}{2}\ \therefore\ r=1}\]

Agora, por geometria analítica:

\[\mathrm{t:y=-\frac{3}{4}x+3 }\]

\[\mathrm{(x-r)^2+(y-r)^2=r^2\to (x-r)^2+\left ( -\frac{3}{4}x+3-r \right )^2=r^2}\]

\[\mathrm{25 x^2 - x(72+8r)+16 r^2 - 96r +144=0}\]

\[\mathrm{Da\ tang\hat{e}ncia\ \Delta =0\ \therefore\ [-(72+8r)]^2-(4)\cdot (25)\cdot (16r^2-96r+144)=0\ \therefore\ r=1\ \vee r=6}\]

por nascelisa Dom 26 maio 2024, 14:22

Giovana Martins escreveu:
Creio que por geometria plana você acaba perdendo uma solução, pois a circunferência de raio 6 também é solução do problema.

Pelo Teorema de Pitágoras:

Ainda que você não saiba qual é o raio da circunferência, faça um esboço da situação e você notará que você tem uma circunferência inscrita em um triângulo retângulo pitagórico (a,b,c) = (3,4,5).

Digo isto, pois:

Para x = 0, tem-se y = 3, tal que C(0,3). Por sua vez, para y = 0, tem-se x = 4, tal que D(4,0).

Deste modo, pelo Teorema de Poncelet:

\[\mathrm{r=\frac{a+b-c}{2}\to r=\frac{3+4-5}{2}\ \therefore\ r=1}\]

Agora, por geometria analítica:

Seja p: a reta perpendicular à reta t: 3x + 4y - 12 = 0, tal que:

\[\mathrm{t:y=-\frac{3}{4}x+3\ \therefore\ m_t=-\frac{3}{4}\ \therefore\ m_p=-\frac{1}{m_t}\ \therefore\ m_p=\frac{4}{3}}\]

\[\mathrm{(x-r)^2+(y-r)^2=r^2\to (x-r)^2+\left ( -\frac{3}{4}x+3-r \right )^2=r^2}\]

\[\mathrm{25 x^2 - x(72+8r)+16 r^2 - 96r +144=0}\]

\[\mathrm{Da\ tang\hat{e}ncia\ \Delta =0\ \therefore\ [-(72+8r)]^2-(4)\cdot (25)\cdot (16r^2-96r+144)=0\ \therefore\ r=1\ \vee r=6}\]

Agradeço pela resolução, com certeza me ajudou a entender melhor o exercício!

por nascelisa Dom 26 maio 2024, 14:25

Leonardo Mariano escreveu:Boa tarde. Para mim o raciocínio que vem em mente é o seguinte: A circunferência é tangente aos eixos coordenados e está no primeiro quadrante. De "tangente aos eixos coordenados" tiramos que o seu centro está a mesma distância do eixo x e do eixo y e, como está no primeiro quadrante, o seu centro será (R, R), com R sendo o seu raio.
Portanto, temos uma circunferência com centro em (R, R) cujo raio é R, que é tangente à reta dada, ou seja, a distância do centro até a reta deve ser R:
[latex] R = \frac{|3R + 4R - 12|}{\sqrt{3^2+4^2}} \rightarrow 5R = |7R - 12|
(I) R \geq \frac{12}{7}: \: 5R = 7R - 12 \rightarrow R = 6
(II) R < \frac{12}{7}: \:\: 5R = -7R + 12 \rightarrow R = 1 [/latex]
Logo, existem duas possibilidades, uma com raio 1 e outra com raio 6.
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