Guidorizzi - continuidade. Seção 3.2, ex 23, letra c

Prove que a função [latex]f(x)=x+\frac{1}{x}[/latex] é contínua em [latex]p=1[/latex]

Podemos escrever \( f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x}\), ou seja, f é o quociente de duas funções polinomiais. Todos os polinomios são continuos e o quociente entre duas funções continuas é continuo, exceto nos pontos onde o denominador é zero. Isso implica que f é continua em todo x distinto de zero.

Se for pra usar a definição, pode fazer assim:

Dado \(\varepsilon > 0\) tome \(\delta < \max\left\{ \dfrac \varepsilon 3, \dfrac 12 \right\}\). Assim, digamos que \(|x - 1| < \delta\). Observe que isso implica que \(|x| \geq 1 - |x-1| > 1 - \dfrac 12 = \dfrac 12 \). Logo,

\[ |f(x) - f(1)| = \left| x + \dfrac 1x - 1 - \dfrac 11 \right| \leq |x-1| +\dfrac{|x-1|}{|x|} < \delta + \dfrac{\delta}{1/2} = 3 \delta < \varepsilon \]

Logo, \( \lim\limits_{x \to 1} f(x) = f(1)\), ou seja, f é contínua em x=1.