continuidade de funçoes-guidorizzi

por leticialinda1234 Dom 8 maio - 14:58

Prove pela de definição que a função x³ é continua em p=2

eu iniciei a prova,mas não se se está correta:
continuidade de funçoes-guidorizzi 2hy9tn8

por **gabrieldpb** Dom 8 maio - 17:47

Queremos provar que
|x-2|<\delta \leftrightarrow |x^3-8|<\epsilon

Note que |x³-8|=|x-2||x^2+2x+4|

Veja que se

|x-2| < 1 \leftrightarrow 1 < x < 3 \rightarrow \left\{\begin{matrix} 1 < x^2 < 9\\ 2 < 2x < 6 \end{matrix}\right.

10 < x^2+2x+4 < 19

-19 < x^2+2x+4 < 19

|x^2+2x+4| < 19

Vamos definir \delta=\begin{Bmatrix} 1,\frac{\epsilon}{19} \end{Bmatrix}

Assim \delta < 1 \; \wedge \; \delta < \frac{\epsilon}{19}

Dessa forma teremos:

|x-2| < \delta \rightarrow |x-2| < 1 \; \wedge \; |x-2| < \frac{\epsilon}{19}

|x^2+2+4| < 19 \; \wedge \; |x-2| < \frac{\epsilon}{19}

|x^3-8|=|x-2||x^2+2+4| < \frac{\epsilon}{19} \cdot 19=\epsilon

Logo |x^3-8| < \epsilon

Abraço!

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