Semicircunferência

No gráfico, SA é perpendicular ao plano da semicircunferência, 3(AS)= 2(CR) e AC=SA+CR. Calcule a área da região triangular SCR se AS=4.



a. 10[latex]\sqrt{3}[/latex]
b. 12[latex]\sqrt{6}[/latex]
c. 8[latex]\sqrt{5}[/latex]
d. 10[latex]\sqrt{5}[/latex]
e. 12[latex]\sqrt{5}[/latex]

Uma outra ideia de resolução. Se ficar difícil entender, avise que depois eu faço um desenho (agora estou no celular).

SÂC = SÂR = A^RC = 90°
AS = 4 ---> CR = 6 ---> AC = 10 ---> AR = 8 ---> SR = 4√5

Prolongue CR de RB = 6. Ficamos com o triângulo isósceles ABC no qual AR é altura relativa base BC = 12. Mas AR é projeção de SR sobre o plano da semicircunferência. Portanto o triângulo SBC também é isósceles e sua área pode ser calculada em função da base é BC e da altura SR. A altura de um triângulo isósceles é perpendicular a base e o divide em dois triângulos de mesma área, portanto a área que queremos do triângulo SRC será a metade da área do triângulo SBC.

[SRC] = (1/2).[SBC] = (1/2).[BC.SR/2] = (1/2).12.4√5/2 = (1/2).24√5
[SRC] = 12√5

Tem, ainda, um modo mais direto.

Se AS é perpendicular a AR em A; e se RC é perpendicular a AR em R; então SR é perpendicular a RC em R.
Portanto o triângulo SRC é retângulo em R e sua área é o semiproduto dos catetos.
S = RC.SR/2 = 6.4√5/2 = 12√5

Na verdade o triângulo ARC, retângulo em R, é a projeção do triângulo SRC no plano do semicírculo.